zadacic

[bingo]

Svojedobno sam na nekom forumu naletio na sljedeci zadatak, ali nikad nisam nasao rijesenje, pa me zanima ako bi netko...

Dakle periodicni decimalni broj pa treba dokazati :
i) Ako se u periodu nalazi paran broj znamenaka, tada je nijhova aritmeticka sredina jednaka 4.5
ii) Ako je broj znamenaka neparan, onda arit. sredina NIJE 4.5

[vsego]

[bingo]

Kao da sam zaboravio jednu pojedinost
Dakle taj priodicni decimalni mora biti moguce zapisati kao razlomak.
Ja se ispicavam.

[vsego]

Sad vec ima malo vise smisla.

Dakle, imamo broj z = x / y.

BSOMP (bez smanjenja opcenitosti mozemo pretpostaviti):
x = x_1 je jednoznamenkast
y > x, tj. z = ( 0 . z_1 z_2 ... z_n z_1 z_2 ... )

Ove stvari su relativno lake za dokazati. Malo petljanja sa zapisom, no ovdje jako neprakticno za zapisati. Basically, stvar je u tome da dijelis dok ti od x-a ne ostane jedna znamenka. Tu nastavis i nije te briga je l' period vec poceo ili ne (stvar je cirkularna, pa je svejedno gdje uzimas pocetak perioda). Sto se tice y>x, to je samo zbog decimalne tocke kod z i niceg drugog. Drugim rijecima, mozes y pomnoziti sa 10 i uvjet ce vrijediti, a periodicnost ce ostati ista (pomak dec. tocke nista ne znaci).

Sada vrijedi (po definiciji dijeljenja, x_k za k>1 su pomocne varijable dobivene dijeljenjem):

[Gost]

Odlicno!
Ovih prvih n jednadzbi se ne bi tako skoro sjetio
Ovaj 1/99 je iz onog drugog dijela tj. kad je y=9y' , ali onaj prvi dio (kad y nije djeljivo sa 9) je puno zanimljiviji i u njemu nema protuprimjera. Pa bi, sve u namjeri da zadacic ne postane promasaj, mogli dodati josh i uvjet da je nazivnik recimo prost broj. Tada ima josh malo posla, ali isplati se .

[krcko]

[bingo]

Evo da probam to rijesiti do kraja.

Vsego je napravio veci dio posla. Sada samo gledam:
9 ( x_1 + x_2 + ... + x_n ) = y * ( z_1 + z_2 + ... + z_n )

Pa za y prost mora biti S[1,n]z_i mod 9 = 0, i n=2k.
T: S[1,n]z_i/n = 4.5
PS : S[1,n]z_i/n <> 4.5 pa pomnozim sa n
Ali tada S[1,n]z_i <> 9*k i S[1,n]z_i mod 9 = 0 sto je kontradikcija.
Pa je arit. sredina jednaka 4.5.
Za neparne analogno.

[vsego]

[krcko]

Mea, pomagaaaaaaaj!

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[bingo]

A! Mislim da sam shvatio.
Hoces rec da ako je S[1,n] = 9k, i n=2k' pa se treba gledati
S[1,n]z_i/n = 9k/2k' = 4.5(k/k') pa kako su z_i iz {0, .. ,9} onda je ovih 4.5(k/k') iz <0,9>. Ali ako bi vrijedilo to da se sve znamenke mogu spariti tako da u sumi daju 9, onda bi to znacilo da je k = k'. Jesi to mislio?

Gauss pomagaaaaj!!

[duje]

Ajmo viditi sto to znaci da je period razlomka a/p jednak 2k.
To znaci da je 10^2k najmanja potencija broja 10 koja daje ostatak 1 pri dijeljenju sa p.
Tada je broj (10^k +1)*(10^k -1) = (10^2k -1) djeljiv sa p.
No, broj 10^k -1 nije djeljiv sa p (zbog minimalnosti od p),
pa je broj 10^k +1 djeljiv sa p.

Pogledajmo sada broj a/p*10^k + a/p. On je jednak
a/p*(10^k +1), pa je, po upravo dokazanome, prirodan broj.
Drugim rijecima, njegov decimalni dio izgleda ovako: 0.9999999... ,
a to upravo znaci da je a_i + a_{k+i} = 9 za svaki i.

[krcko]

Hvala profesoru Gaussu na rjesenju

A hvala i Bingu na zadatku, ovo je jedan od ljepsih koje sam vidio vec duze vrijeme. Sjetio sam se jos jednog zgodnog, otvorit cu novi topic..

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.