Pismeni: 5 zadataka, 32 studenta, proslo 25%...

[Gia]

Na pismenom ispitu postavljeno je 5 zad,a polozili su ga studenti koji su tocno rijesili barem 2 zad. ispitu su pristupila 32 studenta a prosli ih je 25%.
a) Dokazite da među zadanih 5 zad postoji barem 1 zad kojeg je tocno rjesilo bar 4 studenta!
b) Dokazite da među 5 zad postoji bar 1 zad koji je tocno rjesilo najvise 12 studenata.

_________________


Gia

[ahri]

a) prepostavimo suprotno, svaki zadatak je rjesilo najvise 3 ucenika.
dakle imamo 5*3 = 15 razlicitih rjesenja.
a tvrdnja je da je 8 ucenika proslo. svaki ucenik je trebao rjesiti barem 2 zadatka, dakle 8*2=16 > 15. kontradikcija s pretpostavkom, pretpostavka je lazna.

b) slicno. prepostavimo da je svaki zadatak rjesen barem 13 puta.
tada je to barem 13*5 = 65 rjesenja. sad mozes na 2 nacina....
prvi, intuitivniji.
od tih 65 starpamo 8*5=40 (dakle, oni koji su prosli) rjesenja na te ucenike koji su prosli. so, ostane nam 25.
onih koji nisu prosli ima 32-8=24.
ovih 25 ne mozemo rasporediti na tih 24 tako da nitko ne dobije barem 2 (dirichletov princip), pa bi to znacilo da je barem jos jedan prosao. sto je u kontradikciji s pretpostavkom.

tu bi morao _dobro_ argumentirati zasto je "minimalno" kada rasporedis 40 zadataka na one koji su proslo (makar je to intuitivno, treba pokazati!).

drugi nacin: kazemo da ima _najvise_ 32*5 - 13*5 NErjesenja (primjeti razliku izmedju _najvise_ i _barem_ gore....
dakle, najvise 19*5 = 95 NErjesenja.
Ucenik je pao ako ima 4 ili vise nerjeesnja.
dakle, 95 NErjesenja, cime se moze prekriti najvise (95 div 4) 23 ucenika, sto znaci da ostali imaju manje od 4 NErjesenja, iliti da su ostali prosli. :)

_________________

[krcko]

Jos jednom, hvala ahri Nekima je smetao ovaj topic, htjedose ga baciti ovamo ali ja ga nisam dao...

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[ahri]

hvala tebi sto si ga iskopao :)

_________________