[quote="Anonymous"] zad. glasi: Newtonovom metodom pronadite sva realna rjesenja
jednadzbe:
(x-1)^2 * NC(x-1) = 3/2 + sh((5-2x)/2)
gdje NC oznacava "najvece cijelo" s tohno9fu 10^(-4)
PITANJE: Kako se rijesiti ovog najveceg cijelog?????
[/quote]
Prebacimo sve na jednu stranu. Definirajmo
f(x):=(x-1)^2*floor(x-1)-3/2-sh(5/2-x)=
=(x-1)^2*floor(x-1)-3/2+sh(x-5/2) .
Za x<1 , (x-1)^2 je pozitivno a floor(x-1) negativno, pa je prvi sumand
negativan. Drugi je očito negativan, a i treći je jer sh čuva
predznak a x-5/2 je negativno. Dakle f(x)<0 , pa tu nema nultočaka.
Za x>=1 , (x-1)^2 je rastuće, floor(x-1) također ( floor je rastuća
funkcija), -3/2 je konstanta a sh je strogo rastuća funkcija, pa
f(x) tamo strogo raste. Dakle, ima najviše jednu nultočku, i to
mora biti na nekom intervalu <a,b> gdje je f(a)<0<f(b) .
Sad uvrštavamo prirodne brojeve (od 1 nadalje):
f(1)=0^2*0-3/2-sh(3/2)<0
f(2)=1^2*1-3/2+sh(-1/2)=-1/2-sh(1/2)<0
f(3)=2^2*2-3/2+sh(1/2)=13/2+sh(1/2)>0
Dakle, naša nultočka, ako je ima, mora biti na <2,3> . Štoviše,
ima je, jer je tamo naša funkcija ( g:=f|_<2,3> )
g(x)=(x-1)^2-3/2-sh(x-5/2) ,
dakle neprekidna, pa nultočka postoji po B-W teoremu.
Sad se lako Newtonom dobije x~=2.30313 .
