|
[quote="Anonymous"]ZAD: Neka je M potprostor vekt. prostora P4 polinoma stupnja<=4 razapet skupom {1-t, t+t^2}. Odredite bazu dualnog prostora M* od M.
-moje pitanje vezano uz ovaj zadatak:dal skup {1-t,t+t^2} najprije trebam nadopuniti do baze za P4,pa onda naci dualnu bazu,ili...?[/quote]
Ne. Zašto bi samo P4 mogao imati dualnu bazu, a ne i M ? :-)
[quote]I,zanimalo bi me rjesenje.[/quote]
Budući da su polinomi p1:=1-t i p2:=t+t^2 linearno nezavisni (različitog su stupnja), gornji skup {p1,p2} je baza za M . Dakle, dualna baza će biti {q1,q2} , gdje je q_i linearni funkcional na M , definiran (na bazi) tako da na p_i bude 1 , a na svima ostalima (u ovom slučaju na onom jednom preostalom) bude 0 . So, q1(1-t)=1 , q1(t+t^2)=0 , q2(1-t)=0 , q2(t+t^2)=1 , i dalje po linearnosti. Globalno, q1(alfa(1-t)+beta(t+t^2))=alfa , a q2(alfa(1-t)+beta(t+t^2))=beta . Budući da je (tipični element od M ) alfa(1-t)+beta(t+t^2)=beta*t^2+(beta-alfa)t+alfa , možemo reći da q1 polinomu pridružuje njegov slobodni član, a q2 njegov kvadratni koeficijent, ali naravno, to vrijedi samo za polinome iz M .
[quote]ZAD: Dokazite da je s (A|B)=tr(B'A) zadan skalarni produkt na M2(|R)[/quote]
Ako su A i B iz |R^(2x2) , neka je
A=[a1 a2//a3 a4] te B=[b1 b2//b3 b4] .
Tada je B^tau=[b1 b3//b2 b4] ,
B^tau A=[b1a1+b3a3 b1a2+b3a4//b2a1+b4a3 b2a2+b4a4] , te
(A|B)=tr(B^tau A)=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4 .
Komutativnost i linearnost u A se sad prilično lako vide. :-)
(A|B)=(B|A) , te (alfaA+B|C)=alfa(A|C)+(B|C) .
Za pozitivnost, (A|A)=a1^2+a2^2+a3^2+a4^2 , suma kvadrata realnih brojeva, za koju znamo 1) da je >=0 ; 2) da je =0 akko su svi 0 , tj. akko je A nulmatrica.
[quote] i ortonormirajte skup{A=[1 0 //0 0],B=[1 1 // 0 0],C=[1 1 //1 0]} s obzirom na taj skup.[/quote]
S obzirom na taj _produkt_, valjda.
||A||=sqrt(A|A)=sqrt1=1 , dakle V1=A/||A||=A .
B2=B-(B|V1)V1=B-(B|A)A=[1 1//0 0]-1[1 0//0 0]=[0 1//0 0]
||B2||=1 , pa je V2=B2=[0 1//0 0]
B3=C-(C|V1)V1-(C|V2)V2=[1 1//1 0]-1[1 0//0 0]-1[0 1//0 0]=[0 0//1 0] .
Također, V3=B3/1=B3 .
Dakle, ortonormiran skup je {[1 0//0 0],[0 1//0 0],[0 0//1 0]} .
| Anonymous (napisa): | ZAD: Neka je M potprostor vekt. prostora P4 polinoma stupnja⇐4 razapet skupom {1-t, t+t^2}. Odredite bazu dualnog prostora M* od M.
-moje pitanje vezano uz ovaj zadatak:dal skup {1-t,t+t^2} najprije trebam nadopuniti do baze za P4,pa onda naci dualnu bazu,ili...? |
Ne. Zašto bi samo P4 mogao imati dualnu bazu, a ne i M ? 
| Citat: | | I,zanimalo bi me rjesenje. |
Budući da su polinomi p1:=1-t i p2:=t+t^2 linearno nezavisni (različitog su stupnja), gornji skup {p1,p2} je baza za M . Dakle, dualna baza će biti {q1,q2} , gdje je q_i linearni funkcional na M , definiran (na bazi) tako da na p_i bude 1 , a na svima ostalima (u ovom slučaju na onom jednom preostalom) bude 0 . So, q1(1-t)=1 , q1(t+t^2)=0 , q2(1-t)=0 , q2(t+t^2)=1 , i dalje po linearnosti. Globalno, q1(alfa(1-t)+beta(t+t^2))=alfa , a q2(alfa(1-t)+beta(t+t^2))=beta . Budući da je (tipični element od M ) alfa(1-t)+beta(t+t^2)=beta*t^2+(beta-alfa)t+alfa , možemo reći da q1 polinomu pridružuje njegov slobodni član, a q2 njegov kvadratni koeficijent, ali naravno, to vrijedi samo za polinome iz M .
| Citat: | | ZAD: Dokazite da je s (A|B)=tr(B'A) zadan skalarni produkt na M2(|R) |
Ako su A i B iz |R^(2x2) , neka je
A=[a1 a2//a3 a4] te B=[b1 b2//b3 b4] .
Tada je B^tau=[b1 b3//b2 b4] ,
B^tau A=[b1a1+b3a3 b1a2+b3a4//b2a1+b4a3 b2a2+b4a4] , te
(A|B)=tr(B^tau A)=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4 .
Komutativnost i linearnost u A se sad prilično lako vide.
(A|B)=(B|A) , te (alfaA+B|C)=alfa(A|C)+(B|C) .
Za pozitivnost, (A|A)=a1^2+a2^2+a3^2+a4^2 , suma kvadrata realnih brojeva, za koju znamo 1) da je >=0 ; 2) da je =0 akko su svi 0 , tj. akko je A nulmatrica.
| Citat: | | i ortonormirajte skup{A=[1 0 //0 0],B=[1 1 // 0 0],C=[1 1 //1 0]} s obzirom na taj skup. |
S obzirom na taj _produkt_, valjda.
||A||=sqrt(A|A)=sqrt1=1 , dakle V1=A/||A||=A .
B2=B-(B|V1)V1=B-(B|A)A=[1 1//0 0]-1[1 0//0 0]=[0 1//0 0]
||B2||=1 , pa je V2=B2=[0 1//0 0]
B3=C-(C|V1)V1-(C|V2)V2=[1 1//1 0]-1[1 0//0 0]-1[0 1//0 0]=[0 0//1 0] .
Također, V3=B3/1=B3 .
Dakle, ortonormiran skup je {[1 0//0 0],[0 1//0 0],[0 0//1 0]} .
|
