|
[quote="Anonymous"]Zasto su prostori R(A) i N(A^t) ortogonalni?[/quote]
(S obzirom na tvoju drugu rečenicu, pretpostavljam da pričaš o operatorima. Ako pričaš o matricama, say so.)
Neka je A: |R^n->|R^m linearni operator. Neka su x@imA i y@Ker(A^tau) proizvoljni. x@imA znači da postoji z@|R^n takav da je x=Az .
S druge strane, y@Ker(A^tau) znači da je (A^tau)y=(0_n)^* --- nulvektor u dualnom prostoru (|R^n)^* , jer A^tau: (|R^m)^*->(|R^n)^* --- s tim da još treba pogledati što točno znači "ortogonalnost" ovdje, jer jer imA potprostor od |R^m , a Ker(A^tau) potprostor od (|R^m)^* .
Pa pogledajmo. U (|R^m)^* se nalaze funkcionali na |R^n (linearni operatori s |R^m u |R ), koji se naravno mogu zapisati u dualnoj bazi. Uobičajena identifikacija konačnodimenzionalnog prostora i njegovog duala zapravo identificira funkcional s njegovom m-torkom koordinatâ u dualnoj bazi kanonske baze. U tom kontekstu, pogledajmo što je primjena funkcionala na vektor. Neka je f@(|R^m)^* zapisan kao sum{i@m}(f_i(e_i)^*) , te neka je v@|R^m zapisan kao sum{j@m}(v_j e_j) . Sada je
f(v)=(sum{i@m}(f_i(e_i)^*))(sum{j@m}(v_j e_j))=
=sum{i,j @m}f_i v_j (e_i)^*(e_j)=sum{i,j @m}f_i v_j delta{ij}=
=sum{i@m}f_i v_i ,
dakle upravo ono što bi bio "skalarni produkt" (f|v) kad bismo f identificirali s objektom (f_i)_{i@m}u |R^m na gore opisani način.
So, ortogonalnost funkcionala f i vektora v nam znači da je f(v)=0 .
U našem gornjem slučaju, imamo (A^tau)y=nulfunkcional , odnosno kompozicija yoA (tako je definirano djelovanje operatora A^tau ) je nulfunkcional na |R^n .
Sad kad pogledamo "skalarni produkt" x i y , odnosno y(x) , vidimo
y(x)=y(Az)=yAz=(yoA)(z)=(0_n)^*(z)=0 , pa su x i y ortogonalni. Budući da su x i y bili proizvoljni iz odgovarajućih prostorâ, to znači da su ti prostori ortogonalni.
[quote] I zasto je njihova ortogonalna suma jednaka upravo R^m?[/quote]
Uz gore navedenu identifikaciju, oba su potprostori od |R^m , pa im je i suma (ortogonalna, naravno) potprostor od |R^m -- označimo je sa S . Dimenzija od imA je po definiciji jednaka r(A) , a dimenzija jezgre od A^tau jednaka je po teoremu o rangu i defektu d(A^tau)=dim((|R^m)^*)-r(A^tau)=dim(|R^m)-r(A)=m-r(A) .
Znamo da za L i M , potprostore nekog vektorskog prostora V , vrijedi dim(L)+dim(M)=dim(L+M)+dim(LnM) . Budući da su naši prostori ortogonalni, presjek im je očito trivijalan (svaki vektor u presjeku morao bi biti okomit na samog sebe, a jedini takav je nulvektor), pa vrijedi
dim(imA)+dimKer(A^tau)=dim(imA(+)Ker(A^tau))+dim((imA)n(Ker(A^tau))) , odnosno
r(A)+m-r(A)=dimS+dim({0}) , odnosno dimS=m .
Sad, jer je S<=|R^m i dimenzija mu je jednaka dimenziji od |R^m , a |R^m je konačnodimenzionalan, mora biti S=|R^m QED.
| Anonymous (napisa): | | Zasto su prostori R(A) i N(A^t) ortogonalni? |
(S obzirom na tvoju drugu rečenicu, pretpostavljam da pričaš o operatorima. Ako pričaš o matricama, say so.)
Neka je A: |R^n→|R^m linearni operator. Neka su x@imA i y@Ker(A^tau) proizvoljni. x@imA znači da postoji z@|R^n takav da je x=Az .
S druge strane, y@Ker(A^tau) znači da je (A^tau)y=(0_n)^* — nulvektor u dualnom prostoru (|R^n)^* , jer A^tau: (|R^m)^*→(|R^n)^* — s tim da još treba pogledati što točno znači "ortogonalnost" ovdje, jer jer imA potprostor od |R^m , a Ker(A^tau) potprostor od (|R^m)^* .
Pa pogledajmo. U (|R^m)^* se nalaze funkcionali na |R^n (linearni operatori s |R^m u |R ), koji se naravno mogu zapisati u dualnoj bazi. Uobičajena identifikacija konačnodimenzionalnog prostora i njegovog duala zapravo identificira funkcional s njegovom m-torkom koordinatâ u dualnoj bazi kanonske baze. U tom kontekstu, pogledajmo što je primjena funkcionala na vektor. Neka je f@(|R^m)^* zapisan kao sum{i@m}(f_i(e_i)^*) , te neka je v@|R^m zapisan kao sum{j@m}(v_j e_j) . Sada je
f(v)=(sum{i@m}(f_i(e_i)^*))(sum{j@m}(v_j e_j))=
=sum{i,j @m}f_i v_j (e_i)^*(e_j)=sum{i,j @m}f_i v_j delta{ij}=
=sum{i@m}f_i v_i ,
dakle upravo ono što bi bio "skalarni produkt" (f|v) kad bismo f identificirali s objektom (f_i)_{i@m}u |R^m na gore opisani način.
So, ortogonalnost funkcionala f i vektora v nam znači da je f(v)=0 .
U našem gornjem slučaju, imamo (A^tau)y=nulfunkcional , odnosno kompozicija yoA (tako je definirano djelovanje operatora A^tau ) je nulfunkcional na |R^n .
Sad kad pogledamo "skalarni produkt" x i y , odnosno y(x) , vidimo
y(x)=y(Az)=yAz=(yoA)(z)=(0_n)^*(z)=0 , pa su x i y ortogonalni. Budući da su x i y bili proizvoljni iz odgovarajućih prostorâ, to znači da su ti prostori ortogonalni.
| Citat: | | I zasto je njihova ortogonalna suma jednaka upravo R^m? |
Uz gore navedenu identifikaciju, oba su potprostori od |R^m , pa im je i suma (ortogonalna, naravno) potprostor od |R^m – označimo je sa S . Dimenzija od imA je po definiciji jednaka r(A) , a dimenzija jezgre od A^tau jednaka je po teoremu o rangu i defektu d(A^tau)=dim((|R^m)^*)-r(A^tau)=dim(|R^m)-r(A)=m-r(A) .
Znamo da za L i M , potprostore nekog vektorskog prostora V , vrijedi dim(L)+dim(M)=dim(L+M)+dim(LnM) . Budući da su naši prostori ortogonalni, presjek im je očito trivijalan (svaki vektor u presjeku morao bi biti okomit na samog sebe, a jedini takav je nulvektor), pa vrijedi
dim(imA)+dimKer(A^tau)=dim(imA(+)Ker(A^tau))+dim((imA)n(Ker(A^tau))) , odnosno
r(A)+m-r(A)=dimS+dim({0}) , odnosno dimS=m .
Sad, jer je S⇐|R^m i dimenzija mu je jednaka dimenziji od |R^m , a |R^m je konačnodimenzionalan, mora biti S=|R^m QED.
|
