zadatak s limesom

[MALENA_20]

lim ( sinx + cosx )^1/x.
p.s. lim x -- 0 .


ako netko zna neka mi pomogne rijesiti uz cijeli postupak.
p.s. malo sam zapela kod tog zadatka ....

[Gost]

Rezultat je e.
"Neformalno", zato što cos x + sinx približno je 1+x u okolini 0 pa na 1/x to se ponaša kao (1+x)^(1/x) kad x teži k 0 i to je e.
Točnije:

sin x + cos x = 2sin(x/2)cos(x/2) + 1 - 2sin^2(x/2) = 1 + y, uz oznaku
y= 2sin(x/2) (cos(x/2) - sin(x/2)).
Očito y teži k 0 kad x teži k 0.

Sad napišemo (cos x+ sin x)^(1/x) = (1+y)^[(1/y) (y/x])

Sada je lim (y/x) = 1 kad x teži k 0, zbog lim sin(x/2)/(x/2) = 1 i lim cos(x/2) = 1.

Konačno, lim (1+y)^[(1/y) (y/x]) = e^lim(y/x) = e.

[Gost]

Ah, imam lapsus u poretku zagrada u prethodnom:

"Sad napišemo (cos x+ sin x)^(1/x) = (1+y)^[(1/y) (y/x]) ", naime

na kraju mora biti (1+y)^[(1/y) (y/x)], jasno.

[MALENA_20]

puno hvala !!!! pomoglo mi je.