Teorem-Leibnitzov kriterij

[Vincent Van Ear]

Teorem:Leibnitzov kriterij:
Pretpostavke: An@IN , c_n >= c_n+1 >= 0 i neka je lim_{n→oo} c_n = 0 (dakle pretpostavljamo padajući i konvergentan niz nenegativnih brojeva)
Doprinos teorema:
Tada red oo_SUMA_n=1 (-1)^n-1 * c_n konvergira.

(Dakle dokazat ćemo da je alternirajući red konvergentan ako je niz prvog člana uređenog para niz nenegativan,padajući i konvergentan)
Dokaz:

m@IN , C_2m = c_1 - c_2 + c_3 - c_4 +…+ c_2m-1 – c_2m


⇒C_2m >=0 (imamo sumu nenegativnih brojeva jer iz pretpostavki teorema niz {c_n} je niz nenegativnih brojeva i padajući što će reći da je prethodnik veći(ili jednak) od sljedbenika pa je razlika prethodnika i sljedbenika pozitivan broj)

C_2m+1 = C_2m + C_2m+1 + C_2m+2

⇒ C_2m ⇐ C_2(m+1)

(ovo gore nije nikakva velika mudrost,jednostavno mi sumiramo nenegativne brojeve,pa je očito da je suma od 2m pozitivnih brojeva manja(ili jednaka) sumi od 2(m+1) brojeva)

(dakle,mi imamo niz parnih suma koji je rastući niz pozitvnih brojeva)

{C_2m : m@IN}

(dakle imamo niz parnih suma)
C_2m = c_1 – (c_2 – c_3) – (c_4 – c_5) - ... – c_2m

⇒ C_2m ⇐ c_1

(od c_1 oduzimamo nenegativne brojeve pa je gornja ocjena jasna)

⇒{C_2m:m@IN} je konvergentan ⇒ postoji lim_{n→oo} C_2m = C ⇐ c_1

(pokazali smo gore da imamo rastući niz odozgo omeđen pa po jednom od teorema u vezi nizova imamo ocjenu da je niz C_2m nužno konvergentan)

(Da bi naš red konvergirao mora(po definiciji konvergencije reda) konvergirati niz od n-parcijalnih suma,mi smo pokazali da niz parnih suma niza od n-parcijalnih suma(dakle podniz niza od n-parcijalnih suma) sigurno konvergira pa _tvrdimo_ da i niz od neparnih suma konvergira i ukoliko to dokažemo onda je zaključak da niz on n-parcijalnih suma konvergira)

C_2,C_4,C_6 → C dokazali

C_1,C_3,C_5 → C tvrdimo

⇒ C_1,C_2,C_3,… → C (to je željeni cilj pokazati)

Pretpostavimo suprotno:

C_1,C_2,C_3,… -/→ C (dakle da naš niz od n-parcijalnih suma ne konvergira,dakle da divergira)

{C_p_n} takav da |C_p_n – eps| > eps An

(dakle ako naš niz od n-parcijalnih suma divergira to će reći da postoji podniz niza {C_n} koji divergira,a reći da divergira nije ništa drugo negoli napisati gornju simboliku)
⇒ postoji podniz {P_g_n} takav da P_g_n su parni ili neparni brojevi

(Moje pitanje:
dakle što ? Pošto imam podniz {C_p_n} za svaki n onda ja mogu odabrati podniz toga podniza tako da uzmem ili parne ili neparne brojeve ? )
{C_p_g_n} ⇒ | C_p_g_n – eps| > eps ⇒ C_p_g_n → C ⇒⇐

(Moje pitanje:
Kako je zaključena kontradikcija,dali ovako:
mi smo gore dokazali da je niz parnih suma konvergentan,dakle ukoliko smo odabrali parne brojeve kao podniz {C_p_n} onda i njegov podniz {C_p_g_n} također mora konvergirati pa mi je kontradikcija jasna,ali što je ako sam odabrao neparne brojeve kao podniz {C_p_n} ? )

NAPOMENA:sve što je u zagradama je moj komentar.

_________________
Samo sam jedan čovjek,
samo jedan pakao.

[veky]

[Vincent Van Ear]

[veky]

[Vincent Van Ear]

[veky]

[951753]

[veky]