Teorem Minkowski - dokaz

[Gost]

Teorem (Minkowski): C konveksan, kompaktan → C=co(extC)

Dokazujemo indukcijom po dimenziji od C.
Za C={x} to je očito.
Pretpostavimo da vrijedi za dimC<k i treba dokazati da tvrdnja teorema vrijedi za dimC=k.
Imamo dva slučaja: kad je x na rubu skupa C i kad je u interioru.
Uzmem x iz ruba i postoji potporna hiperravnina H u točki x.
Dim(C∩H)<=k-1 pa je po pretpostavci indukcije x konveksna kombinacija ekstremnih točaka iz C∩H.

Treba još vidjeti da su ekstremne točke C∩H = ekstremnim točkama od C.
Kako to vidjeti?

[krcko]

Mislis naravno da je ext(C∩H) podskup od ext(C). Pretpostavimo suprotno. Neka je x iz ext(C∩H), ali nije ekstremna tocka od C. Onda postoje razliciti x1, x2 iz C i 0<t<1 takvi da je x=(1-t)x1+tx2. Neka je H...a*x=b i neka C lezi u a*x⇐b. Znaci, a*x1⇐b i a*x2⇐b. Kad bi bar jedna od te dvije nejednakosti bila stroga slijedilo bi a*x<b, a to nije moguce jer x lezi u H. Dakle, x1 i x2 su takodjer u H. Prikazali smo x kao netrivijalnu konveksnu kombinaciju dvije tocke iz C∩H. To je kontradikcija sa x iz ext(C∩H).

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[Gost]

sta je za slucaj kad je x iz ri(C)?