EM2 teorija - o svojstvima izometrija

[SvekY]

EM2 mi predaje prof. Adamovic.

Imali smo teorem koji glasi:
Svaka izometrija ravnine preslikava bijektivno pravac na pravac.
... i dokazali.

Sad imam Propoziciju 2: Neka je izometrija f: M M

1. Slika duzine AB je duzina f(A)f(B)
   
2. Slika polupravca s poc. u O je polupravac s poc. u f(O)
   
3. Slika poluravnine odredjene s pravcem p je poluravnina odredjena sa f(p)
   

Zna li tko dokazati?
Pretpostavljam da se a. i b. dokaze tako da se zada pravac na kojem leze duzina odnosno polupravac. Tocno?
Kako da dokazem za poluravninu?

[Crni]

a) Neka je f(A)=A' i f(B)=B'. Neka je C neka točka koja leži između A i B na pravcu AB i neka je f(C)=C'. Kako izometrija čuva udaljenosti (|XY|=|f(X)f(Y)|) imamo inkluziju |AC|+|CB|=|AB| |A'C'|+|C'B'|=|A'B'|, odnosno C' zaista leži na pravcu A'B' između A' i B'.

Ovo ostalo možeš dokazat' na isti kalup.

[SvekY]

Puno hvala

[veky]