konstrukcija baze

[HijenA]

imam pitanje.
kako konstruirati bazu u Banchovom prostoru C ([0,1])?
da li se to moze/mora rijesiti pomocu nizova?

_________________
Chuck Norris can divide by zero.

[Ilja]

Tu moras najprije reci sta ti upce smatras da da je baza u opcem normiranom prostoru.
Pretpostavljam da mislis na neku vatrijantu tzv. topoloske baze, koja je razlicita od pojma algebarske (Hamelove) baze. Za opceniti vektorski prostor X, algebarska baza je takav njegov podskup B koji je linearno nezavisan i svaki element tog vekt. prostora se moze prikazati kao (konacna) linearna kombinacija veltora iz B. Ako je X topolosk (ralan ili kompleksni)i vektorski prostor (tj. snabdjeven je topologijom koja uz koju su operacije zbrajanja i mnozenja skalarom neprekidne funkcije), npr. kao sto je C([0,1]), onda ima smisla gledati i beskonacne sume.
U konacnodimenzionalnom slucaju pojmovi top. i alg. baze se podudaraju.
Primjer topoloske baze za separabilni Hilbertov prostor je sigurno ortonormirana baza, tj. takav niz (e_n) iz X za kojeg se svaki vektor x iz X moze na jedinstven nacin napisati kao suma reda <x,e_n>e_n, gdje je <.,.> sklarni produkt na X. Jedan od klasicnih teorema kaze da svaki Hilbertov prostor ima ONB. Kod opcenitog Banachovog prostora nemamo bas neki jako direktni analogon ONB-a.
Jedna od mogucih top. baza na nivou Banachovih prosotra je tzv. Schauderova baza (SB), tj. niz (x_n) u X takav da za sve x iz X postoji jedinstveni niz skalara $(a_n)$ takav da je x= suma reda a_n x_n.
No postoje separabilni Banachovi prostori koji nemaju SB.
Ono sto tebe zanima je C([0,1]), cija sup-norma ne zadovoljava relaciju paralelograma, tj. on nije Hilbertov. No, on ima SB.
Ako te eksplicitno zanima koja je to baza, pogledaj u knjiznici knjigu
R.E. Megginson: An introduction to Banach space theory.

[vjekovac]

Stvarno na ovo više nemam što pametno dodati.

Dakle, da rezimiramo, na beskonačno-dimenzionalnim vektorskim prostorima (npr. Banachovim, Hilbertovim) je obično definirana i neka topologija pa se gledaju razne vrste topoloških baza.
Npr. na Banachovom prostoru: bezuvjetna baza (unconditional basis), Schauderova baza,
na Hilbertovom prostoru: Rieszova baza, ortonormirana baza,
ili neki općenitiji repodukcijski sistemi (koji uopće nisu baze) kao npr. bazni okviri (frameovi).
Algebarska (Hamelova) baza tada, u principu, nije zanimljiva.