Rok 07.12.2004.

[fmb]

Rezultati roka i komentari asistenta su kako slijedi...

Pismeni ispit su prosli:
Romana Capor 0+18+15+0+20=53 (2), usmeni po dogovoru s profesorom (moze danas dogovor u 15h ili mailom na vukovic@math.hr)
Ana Radic 10+15+15+0+20=60 (-3), usmeni u cetvrtak 9.12. u 16 sati

Ostali studenti su pali pismeni ispit.

Glavni komentar tice se prvog zadatka, u kojem se trazio broj funkcija f:RxR→R koje nemaju prve parcijalne derivacije u ishodistu. Na tom zadatku osim A. Radic svi imaju 0 bodova. Zasto? Dvije bitne greske u postupcima sviju ostalih koji su ga rjesavali:

1- primjer funkcije koja nema prve parcijalne derivacije redovno je uzet tako da funkcija nije definirana u (0,0). No u zadatku se gledaju funkcije koje su definirane na RxR. Funkcija mora biti definirana u svakoj tocki domene.

2- svi su pokazali da opisanih funkcija ima najvise c jer su uzeli da one cine podskup skupa neprekidnih funkcija. Nije istina da ako funkcija nema parcijalne derivacije u ishodistu ona mora biti neprekidna na cijeloj domeni. No, postoje neprekidne funkcije (neprekidne na citavom RxR) koje nemaju prve parcijalne derivacije u (0,0).

Pozdrav,
FMB

_________________
"Have patience. Go where you must, and hope."
(Gandalf in J.R.R.Tolkien's "The Lord of the Rings")

[fmb]

Rjesenja roka 07.12.2004.

Odrediti kard.broj skupa svih funkcija f:RxR→R koje nemaju prve parc. derivacije u ishodistu. Zadatak se rjesava pomocu CB-teorema. Dobiva se 2^c (da takvih funkcija ima bar toliko dobiva se uzimanjem proizvoljne funkcije f:RxR→R koju se predefinira na dijelu oko ishodista tako da zadovolji uvjet).

Dokazati da je zbroj izraza i+omega po svim i<omega^2 jednak omega^3. Prethodnici od omega^2 su oblika omega.m+n za konacne m i n, pa je potrebno izracunati sume gornjeg oblika po i-ovima manjim od omega.m+n; njihov dio za i<omega.m bit ce (pokaze se matematickom indukcijom) jednak omega^2.m.


Dokazati da u svakom povezanom grafu postoji razapinjuce stablo. Svodi se na primjenu ZL na parc. uredjeni skup svih podgrafova koji su stabla, cime se dobije maksimalno podstablo. Na kraju jos treba provjeriti da to maksimalno podstablo sadrzi sve vrhove polaznog grafa (princip pretpostavimo suprotno...) U provjeravanju uvjeta ZL najveci posao je provjera da je unija lanca podstabala takodjer bez ciklusa.

Dati dva primjera troclanih tranzitivnih skupova i pokazati za tranzitivan skup A koji nije jednak 0 ni {0} (0=prazan skup) da je A presjek UA neprazan. Jedan troclani tranzitivni skup je npr. { 0, {0}, {0,{0}} }. Trazeno svojstvo dobije se direktno iz definicije tranzitivnosti: kad god A nije ni 0 ni {0}, onda u A postoji element koji nije 0, dakle taj element ima svoj element x. Taj x onda jest element nekog elementa iz A, pa je u UA, a zbog tranzitivnosti od A je x element i od A.

Za ordinalne brojeve a>0,b>1 dokazati da je b^a>=ba. Transfinitnom indukcijom po a. Baza je a=1. Korak za granicni a je direktan, u koraku za a oblika d+1 koristi se db>=d+1 (sto treba i dokazati).

_________________
"Have patience. Go where you must, and hope."
(Gandalf in J.R.R.Tolkien's "The Lord of the Rings")