| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 19:50 ned, 21. 11. 2004 Naslov: Neprekidnost u tocki?!? |
    |
|
|
Imam par pitanja vezana uz funkciju:
f(x,y)= (x*y)/(x^2+y^2), za (x,y) razlicito od (0,0)
= 0 za (x,y) = (0,0)
U knjizi prof.Ungara pise da ona je nije neprekidna u (0,0), ali kako se to moze vidjeti iz definicije neprekidnosti na metrickom prostoru?!?
I zasto se uvijek kod takvih funkcija gledaju varijable posebno npr (x,0) ili (x,x)?
Imam par pitanja vezana uz funkciju:
f(x,y)= (x*y)/(x^2+y^2), za (x,y) razlicito od (0,0)
= 0 za (x,y) = (0,0)
U knjizi prof.Ungara pise da ona je nije neprekidna u (0,0), ali kako se to moze vidjeti iz definicije neprekidnosti na metrickom prostoru?!?
I zasto se uvijek kod takvih funkcija gledaju varijable posebno npr (x,0) ili (x,x)?
|
|
| [Vrh] |
|
defar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2004. (01:37:19)
Postovi: (152)16
|
| Postano: 20:19 ned, 21. 11. 2004 Naslov: |
|
|
|
gledaju se limesi fje rastringirane na neku krivulju ili pravac, ili opcenito podskup domene, jer je to cesto lakse provjeriti.
ako limes fje postoji, onda postoji limes fje restringirane na bilo koji potprostor domene, i ti se limesi podudaraju.
(no, to naravno ne znaci da, ako nadjes da postoji limes po nekoj konkretnoj restrikciji, postoji i limes fje u toj tocki - to je potrebno jos provjeriti.)
a ako uocis odmah iz zapisa fje da se, npr, "limesi po neke dvije restrikcije" ne podudaraju u nekoj tocki, mozes odmah otpisat njenu neprekidnost, jer ako je ona(f) nepr u nekoj tocki iz domene (P), onda postoji limes fje u toj tocki i taj limes je jednak f(P).
probaj napisati gornju fju "u polarnim koordinatama", mozda bude preglednije.
gledaju se limesi fje rastringirane na neku krivulju ili pravac, ili opcenito podskup domene, jer je to cesto lakse provjeriti.
ako limes fje postoji, onda postoji limes fje restringirane na bilo koji potprostor domene, i ti se limesi podudaraju.
(no, to naravno ne znaci da, ako nadjes da postoji limes po nekoj konkretnoj restrikciji, postoji i limes fje u toj tocki - to je potrebno jos provjeriti.)
a ako uocis odmah iz zapisa fje da se, npr, "limesi po neke dvije restrikcije" ne podudaraju u nekoj tocki, mozes odmah otpisat njenu neprekidnost, jer ako je ona(f) nepr u nekoj tocki iz domene (P), onda postoji limes fje u toj tocki i taj limes je jednak f(P).
probaj napisati gornju fju "u polarnim koordinatama", mozda bude preglednije.
_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'
Zadnja promjena: defar; 20:33 ned, 21. 11. 2004; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 20:27 ned, 21. 11. 2004 Naslov: |
|
|
|
znaci, f(x,0) = 0 a f(x,x) = 1/2
buduci da je to razlicito, mogu odmah zakljucit da funkcija nije neprekidna?
a ako je definirana neka druga funkcija (nije bitno koja) tako da se po jednoj restrikciji dobi npr. 1/x, a u drugoj 1/(3x), dal je ona isto neprekidna buduci da su njihovi limesi isti?
znaci, f(x,0) = 0 a f(x,x) = 1/2
buduci da je to razlicito, mogu odmah zakljucit da funkcija nije neprekidna?
a ako je definirana neka druga funkcija (nije bitno koja) tako da se po jednoj restrikciji dobi npr. 1/x, a u drugoj 1/(3x), dal je ona isto neprekidna buduci da su njihovi limesi isti?
|
|
| [Vrh] |
|
defar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2004. (01:37:19)
Postovi: (152)16
|
| Postano: 20:41 ned, 21. 11. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]znaci, f(x,0) = 0 a f(x,x) = 1/2
buduci da je to razlicito, mogu odmah zakljucit da funkcija nije neprekidna?
[/quote]
mislis valjda limf(x,0), i limf(x,x) za x->0
da, to mozes.
[quote="Anonymous"]
a ako je definirana neka druga funkcija (nije bitno koja) tako da se po jednoj restrikciji dobi npr. 1/x, a u drugoj 1/(3x), dal je ona isto neprekidna buduci da su njihovi limesi isti?[/quote]
ne razumijem. 1/x je razlicito od 1/(3x), za svaki realan x :D
a cak i ako dobijes jednake limese po dvije restrikcije, ne mozes nista jos zakljuciti o funkciji u toj tocki.
recimo da je domena IR^2.
ti si provjerio/la kako se fja ponasa na sve manjim kruzicima oko dane tocke, kad se toj tocki pristupa iz dva "smjera". a nitko ne kaze da ona ne moze podivljati bas negdje izmedju.
| Anonymous (napisa): | znaci, f(x,0) = 0 a f(x,x) = 1/2
buduci da je to razlicito, mogu odmah zakljucit da funkcija nije neprekidna?
|
mislis valjda limf(x,0), i limf(x,x) za x→0
da, to mozes.
| Anonymous (napisa): |
a ako je definirana neka druga funkcija (nije bitno koja) tako da se po jednoj restrikciji dobi npr. 1/x, a u drugoj 1/(3x), dal je ona isto neprekidna buduci da su njihovi limesi isti? |
ne razumijem. 1/x je razlicito od 1/(3x), za svaki realan x 
a cak i ako dobijes jednake limese po dvije restrikcije, ne mozes nista jos zakljuciti o funkciji u toj tocki.
recimo da je domena IR^2.
ti si provjerio/la kako se fja ponasa na sve manjim kruzicima oko dane tocke, kad se toj tocki pristupa iz dva "smjera". a nitko ne kaze da ona ne moze podivljati bas negdje izmedju.
_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 22:38 ned, 21. 11. 2004 Naslov: Re: Neprekidnost u tocki?!? |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Imam par pitanja vezana uz funkciju:
f(x,y)= (x*y)/(x^2+y^2), za (x,y) razlicito od (0,0)
= 0 za (x,y) = (0,0)
U knjizi prof.Ungara pise da ona je nije neprekidna u (0,0), ali kako se to moze vidjeti iz definicije neprekidnosti na metrickom prostoru?!?[/quote]
Auf... teško. :-)
No da probamo... negacija tvrdnje " f je neprekidna u (0,0) ", po definiciji neprekidnosti u metričkom prostoru, glasi:
postoji eps@|R^+ takav da za svaki delta@|R^+ postoji točka čija je udaljenost od ishodišta manja od delta , a razlika vrijednostî funkcije u toj točki i u ishodištu je veća ili jednaka epsilon.
Pa da vidimo... treba naći epsilon. Ja tvrdim da je eps:=1/2 ok. Sad treba (uzevši u obzir kako glasi metrika na |R^2 , te da je f(0,0)=0 ) za svaki delta naći točku (h,k) takvu da je sqrt(h^2+k^2)<delta , te da je |f(h,k)|=|hk|/(h^2+k^2)>=eps . Pa, ako je dan delta>0 , uzmimo točku (delta/2,delta/2) . Lako se vidi:
*sqrt((delta/2)^2+(delta/2)^2)=sqrt(delta^2/2)=
delta/sqrt2<delta , te
*|f(delta/2,delta/2)|=|1/2|=1/2>=1/2=eps .
Sve u svemu, vrijedi negacija neprekidnosti f u (0,0) , pa f nije neprekidna u (0,0) .
[quote]I zasto se uvijek kod takvih funkcija gledaju varijable posebno npr (x,0) ili (x,x)?[/quote]
Vidiš onaj "Auf... teško" gore? E, zato. :-)
Zato što je tako lakše. Obično je lakše iskoristiti neku dobru karakterizaciju, nego ići po definiciji. A ovdje dobra karakterizacija kaže:
*f je neprekidna u (0,0) akko je limf u (0,0) jednak f(0,0) , dakle 0
*ako to vrijedi, moralo bi biti lim{x->0}f(g(x),h(x))=0 , za sve neprekidne funkcije g i h takve da je g(0)=h(0)=0 . No to nije, jer ako uzmemo g(x):=h(x):=x , lijevi limes je jednak lim{x->0}(1/2) , dakle 1/2 što nije 0 -- kontradikcija.
Dakle, f nije neprekidna u (0,0) .
HTH,
| Anonymous (napisa): | Imam par pitanja vezana uz funkciju:
f(x,y)= (x*y)/(x^2+y^2), za (x,y) razlicito od (0,0)
= 0 za (x,y) = (0,0)
U knjizi prof.Ungara pise da ona je nije neprekidna u (0,0), ali kako se to moze vidjeti iz definicije neprekidnosti na metrickom prostoru?!? |
Auf... teško. 
No da probamo... negacija tvrdnje " f je neprekidna u (0,0) ", po definiciji neprekidnosti u metričkom prostoru, glasi:
postoji eps@|R^+ takav da za svaki delta@|R^+ postoji točka čija je udaljenost od ishodišta manja od delta , a razlika vrijednostî funkcije u toj točki i u ishodištu je veća ili jednaka epsilon.
Pa da vidimo... treba naći epsilon. Ja tvrdim da je eps:=1/2 ok. Sad treba (uzevši u obzir kako glasi metrika na |R^2 , te da je f(0,0)=0 ) za svaki delta naći točku (h,k) takvu da je sqrt(h^2+k^2)<delta , te da je |f(h,k)|=|hk|/(h^2+k^2)>=eps . Pa, ako je dan delta>0 , uzmimo točku (delta/2,delta/2) . Lako se vidi:
*sqrt((delta/2)^2+(delta/2)^2)=sqrt(delta^2/2)=
delta/sqrt2<delta , te
*|f(delta/2,delta/2)|=|1/2|=1/2>=1/2=eps .
Sve u svemu, vrijedi negacija neprekidnosti f u (0,0) , pa f nije neprekidna u (0,0) .
| Citat: | | I zasto se uvijek kod takvih funkcija gledaju varijable posebno npr (x,0) ili (x,x)? |
Vidiš onaj "Auf... teško" gore? E, zato.
Zato što je tako lakše. Obično je lakše iskoristiti neku dobru karakterizaciju, nego ići po definiciji. A ovdje dobra karakterizacija kaže:
*f je neprekidna u (0,0) akko je limf u (0,0) jednak f(0,0) , dakle 0
*ako to vrijedi, moralo bi biti lim{x→0}f(g(x),h(x))=0 , za sve neprekidne funkcije g i h takve da je g(0)=h(0)=0 . No to nije, jer ako uzmemo g(x):=h(x):=x , lijevi limes je jednak lim{x→0}(1/2) , dakle 1/2 što nije 0 – kontradikcija.
Dakle, f nije neprekidna u (0,0) .
HTH,
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 22:44 ned, 21. 11. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]
a ako je definirana neka druga funkcija (nije bitno koja) tako da se po jednoj restrikciji dobi npr. 1/x, a u drugoj 1/(3x), dal je ona isto neprekidna buduci da su njihovi limesi isti?[/quote]
Nema šanse. Štoviše, takva funkcija uopće se ne može dodefinirati (realno) tako da bude neprekidna u inkriminiranoj točki (pretpostavljajući da ona u gornjem podrazumijeva x->0 ). Naime, taj limes bi morao postojati (realno), i biti jednak vrijednosti funkcije u toj točki. No limes od 1/x po x->0 _ne postoji_ realno, so neprekidnost odmah pada u vodu. (Želiš da ti f ide u |R ... ne možeš definirati f(0,0):=oo ili nešto tako bizarno.)
Ne zaboraviti vrijednost funkcije u točki... trivijalan kontraprimjer: f(x,y):=0 izvan ishodišta, a f(0,0):=1 . Naravno, po apsolutno svakoj restrikciji kroz ishodište limes (kad god postoji) f je jednak ( 0 ), pa ipak f nije neprekidna u ishodištu.
HTH
| Anonymous (napisa): |
a ako je definirana neka druga funkcija (nije bitno koja) tako da se po jednoj restrikciji dobi npr. 1/x, a u drugoj 1/(3x), dal je ona isto neprekidna buduci da su njihovi limesi isti? |
Nema šanse. Štoviše, takva funkcija uopće se ne može dodefinirati (realno) tako da bude neprekidna u inkriminiranoj točki (pretpostavljajući da ona u gornjem podrazumijeva x→0 ). Naime, taj limes bi morao postojati (realno), i biti jednak vrijednosti funkcije u toj točki. No limes od 1/x po x→0 _ne postoji_ realno, so neprekidnost odmah pada u vodu. (Želiš da ti f ide u |R ... ne možeš definirati f(0,0):=oo ili nešto tako bizarno.)
Ne zaboraviti vrijednost funkcije u točki... trivijalan kontraprimjer: f(x,y):=0 izvan ishodišta, a f(0,0):=1 . Naravno, po apsolutno svakoj restrikciji kroz ishodište limes (kad god postoji) f je jednak ( 0 ), pa ipak f nije neprekidna u ishodištu.
HTH
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
|
