EM: Dva zadatka

[Snježana]

Nisam znala riješiti zadatke:
a)dokaži da za svaki prirodni broj n vrijedi da 5 dijeli broj n^5 – n
b)zadana je relacija {(1,1),(1,3),(2,3),(1,2),(3,3)} za skup A={1,2,3},treba ispitati svojstva.
Molim vas,možete mi to rješiti.

[Gost]

Prvi zadatak moze se lako rijesiti matematickom indukcijom, ali jednostavnije je promatrati ostatke koje n^5 i n daju pri dijeljenju s 5 - uvijek su jednaki, pa je razlika djeljiva s 5. (n^5 je kongruentan s n modulo 5).
Relacija u drugom zadatku nije refleksivna ni simetricna, ali je tranzitivna. Valjda se misli na ta svojstva.

[Gost]

a)



Tvrdnja očito vrijedi za sve prirodne n koji su višekratnici broja 5. Oni koji to nisu, dijele se u 4 skupine;

5k-1
5k-2
5k-3
5k-4

gdje koeficijent k prirodan broj i za takve ne-višekratnike od 5 treba dokazati da je izraz



djeljiv sa 5 (jer je 5 je prost broj).

1) Dokaz za n=5k-1:



2) Dokaz za n=5k-2:



3) Dokaz za n=5k-3



4) Dokaz n=5k-4:

[Crni]

Ovaj gost kaj je riješil' zadatak bez indukcije sam bil' ja (valjda sam predugo pisal' post, pa mi se odlogiralo automatski). Ispričavam se radi ove sitne greške u zadnjem redu, treba pisati:

[veky]