| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Nok
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2004. (21:48:49)
Postovi: (4)16
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol: 
|
 Postano: 12:47 čet, 2. 12. 2004 Naslov: Re: Diofantska jednadžba |
    |
|
|
[quote="Nok"]Kako doci do cijelobrojnih rješenja jednadžbe x^2 - 92y^2 = 1?[/quote]
Ovo je primjer jedne Pellove jednadzbe.
To su jednadzbe oblika x^2 - dy^2 = 1
i ako je d prirodan broj koji nije kvadrat,
one imaju beskonacno mnogo rjesenja.
O njihovom rjesavanju moze se naci npr.
u skripti iz Uvoda u teoriju brojeva
http://web.math.hr/~duje/utb/utblink.pdf
(7. poglavlje: Diofantske jednadzbe).
Ukratko, treba naci najmanje rjesenje (u prirodnim brojevima).
To se radi ili uvrstavanjem y=1,2,... sve dok se
na nadje rjesenje ili se koriste tzv. verizni razlomci.
U ovom slucaju je najmanje rjesenje:
x_1=1151, y_1=120.
Sada su sva rjesenja jednadzbe uredjeni parovi (x_n,y_n),
gdje je
x_n= 2*x_1*x_{n-1} - x_{n-2},
y_n= 2*y_1*y_{n-2} - y_{n-2},
uz x_1, y_1 definirane gore, te x_0=1, y_0=0.
Tako je npr. x_2=2649601, y_2=276240.
Duje
| Nok (napisa): | | Kako doci do cijelobrojnih rješenja jednadžbe x^2 - 92y^2 = 1? |
Ovo je primjer jedne Pellove jednadzbe.
To su jednadzbe oblika x^2 - dy^2 = 1
i ako je d prirodan broj koji nije kvadrat,
one imaju beskonacno mnogo rjesenja.
O njihovom rjesavanju moze se naci npr.
u skripti iz Uvoda u teoriju brojeva
http://web.math.hr/~duje/utb/utblink.pdf
(7. poglavlje: Diofantske jednadzbe).
Ukratko, treba naci najmanje rjesenje (u prirodnim brojevima).
To se radi ili uvrstavanjem y=1,2,... sve dok se
na nadje rjesenje ili se koriste tzv. verizni razlomci.
U ovom slucaju je najmanje rjesenje:
x_1=1151, y_1=120.
Sada su sva rjesenja jednadzbe uredjeni parovi (x_n,y_n),
gdje je
x_n= 2*x_1*x_{n-1} - x_{n-2},
y_n= 2*y_1*y_{n-2} - y_{n-2},
uz x_1, y_1 definirane gore, te x_0=1, y_0=0.
Tako je npr. x_2=2649601, y_2=276240.
Duje
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 13:13 čet, 2. 12. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]x^2 - 92y^2 = 1
x^2 - 1 = 23* (2y)^2.
Ako y=0, imamo ocita rjesenja pa uzmimo da y nije 0.
Ocito je x neparan, stavimo x = 2t+1 i jos z=2y.
Onda
t(t+1) = 23 z^2.
t i t+1 su relativno prosti pa svaki prim djelitelj p od z dijeli samo
jedan od brojeva t i t+1. Zato su i t i t+1 potpuni kvadrati. [/quote]
Sve sto pise je tocno, osim zadnje recenice.
Zakljucak bi trebao biti da je jedan od brojeva t i t+1 potpun kvadrat, a drugi je oblika 23*kvadrat. Na primjer, za x=1151 je t=575=23*5^2, dok je t+1=576=24^2.
Duje
| Anonymous (napisa): | x^2 - 92y^2 = 1
x^2 - 1 = 23* (2y)^2.
Ako y=0, imamo ocita rjesenja pa uzmimo da y nije 0.
Ocito je x neparan, stavimo x = 2t+1 i jos z=2y.
Onda
t(t+1) = 23 z^2.
t i t+1 su relativno prosti pa svaki prim djelitelj p od z dijeli samo
jedan od brojeva t i t+1. Zato su i t i t+1 potpuni kvadrati. |
Sve sto pise je tocno, osim zadnje recenice.
Zakljucak bi trebao biti da je jedan od brojeva t i t+1 potpun kvadrat, a drugi je oblika 23*kvadrat. Na primjer, za x=1151 je t=575=23*5^2, dok je t+1=576=24^2.
Duje
|
|
| [Vrh] |
|
|
