|
[quote="Lord Sirius"]Na forumu elementarne pod topic algebra ima zadatak:"neka je skup {x+y,2x+3y} linearno nezavisan. Je li tada i skup {x,y} linearno nezavisan?"
Zanima me vrijedi li analogija za slijedeci zadatak:
Neka je {x,y,z} linearno nezavisan u V.Kakav je skup {x+y,y+z,z+x}?
mozemo pretpostaviti suprotno, da je {x,y,z} zavisan.
znaci da postoji a,b,c iz R\{0} t.d. vrijedi
x=ay;x=bz;z=cy
dalje imamo
x+y=ay+y=y(a+1)
y+z=y+cy=y(c+1)
x+z=ay+cy=y(a+c)
i jos dalje
y=(x+y)/(a+1);y=(y+z)/(c+1);y=(x+z)/(a+c)
x+y=((a+1)/(c+1))*(y+z)
x+z=((a+c)/(a+1))*(x+y)
y+z=((c+1)/(a+c))*(x+z)
tj. svaki clan skupa {x+y,y+z,z+x} mozemo pokazati kao neki skalar puta neki drugi clan skupa.
Dakle, da li vrijedi da iz toga zakljucujemo kako je skup {x+y,y+z,z+x} lin. zavisan, i buduci da smo pretpostavili da je {x,y,z} zavisan, a sto nije,slijedi suprotno, tj. da je {x+y,y+z,z+x} lin. nezavisan?[/quote]
Ne bas. Ti imas tvrdnje A="skup {x,y,z} je lin. nezavisan" i B="skup {x+y,y+z,z+x} je lin nezavisan"
Tvrdnja koju dokazujes je A => B. Ako zelis ici po kontradikciji, moras ici od "ne B". Ako dobijes da "ne B" => "ne A", onda znaci da A=>B.
Ti si pretpostavio "ne A" i dobio "ne B". Recimo A="broj x je paran" i B="broj x je djeljiv sa 4". Ocito, "ne A"=>"ne B" ("x je neparan"=>"x nije djeljiv sa 4"), ali ne vrijedi A=>B ("x je paran"=>"x je djeljiv sa 4").
Inace, zavisnost skupa {x,y,z} bi znacilo da postoje a,b,c (bar jedan nije nula) t.d. vrijedi:
ax+by+cz=0
Mozemo pretpostaviti da je {x+y,y+z,z+x} zavisan, tj. postoje a,b,c (bar jedan nije nula) t.d.
a(x+y)+b(y+z)+c(z+x) = 0
tj.
ax+ay+by+bz+cz+cx = 0
x(a+c)+y(a+b)+z(b+c) = 0
Kako je {x,y,z} nezavisan, onda je i a+c=a+b=b+c=0
To su 3 jednadzbe sa 3 nepoznanice:
a+c=0 => a=-c
a+b=0 => a=-b
b+c=0 => b=-c
Iz prve dvije imas c=-a=b, a iz trece c=-b, pa je a=b=c=0, sto je u kontradikciji s pretpostavkom (bar jedan nije nula). :idea:
Dakle, pretpostavka o linearnoj zavisnosti skupa {x+y,y+z,z+x} ne vrijedi, tj. skup {x+y,y+z,z+x} je lin. nezavisan.
Evo, nadam se da je bilo bar donekle korisno.
| Lord Sirius (napisa): | Na forumu elementarne pod topic algebra ima zadatak:"neka je skup {x+y,2x+3y} linearno nezavisan. Je li tada i skup {x,y} linearno nezavisan?"
Zanima me vrijedi li analogija za slijedeci zadatak:
Neka je {x,y,z} linearno nezavisan u V.Kakav je skup {x+y,y+z,z+x}?
mozemo pretpostaviti suprotno, da je {x,y,z} zavisan.
znaci da postoji a,b,c iz R\{0} t.d. vrijedi
x=ay;x=bz;z=cy
dalje imamo
x+y=ay+y=y(a+1)
y+z=y+cy=y(c+1)
x+z=ay+cy=y(a+c)
i jos dalje
y=(x+y)/(a+1);y=(y+z)/(c+1);y=(x+z)/(a+c)
x+y=((a+1)/(c+1))*(y+z)
x+z=((a+c)/(a+1))*(x+y)
y+z=((c+1)/(a+c))*(x+z)
tj. svaki clan skupa {x+y,y+z,z+x} mozemo pokazati kao neki skalar puta neki drugi clan skupa.
Dakle, da li vrijedi da iz toga zakljucujemo kako je skup {x+y,y+z,z+x} lin. zavisan, i buduci da smo pretpostavili da je {x,y,z} zavisan, a sto nije,slijedi suprotno, tj. da je {x+y,y+z,z+x} lin. nezavisan? |
Ne bas. Ti imas tvrdnje A="skup {x,y,z} je lin. nezavisan" i B="skup {x+y,y+z,z+x} je lin nezavisan"
Tvrdnja koju dokazujes je A ⇒ B. Ako zelis ici po kontradikciji, moras ici od "ne B". Ako dobijes da "ne B" ⇒ "ne A", onda znaci da A⇒B.
Ti si pretpostavio "ne A" i dobio "ne B". Recimo A="broj x je paran" i B="broj x je djeljiv sa 4". Ocito, "ne A"⇒"ne B" ("x je neparan"⇒"x nije djeljiv sa 4"), ali ne vrijedi A⇒B ("x je paran"⇒"x je djeljiv sa 4").
Inace, zavisnost skupa {x,y,z} bi znacilo da postoje a,b,c (bar jedan nije nula) t.d. vrijedi:
ax+by+cz=0
Mozemo pretpostaviti da je {x+y,y+z,z+x} zavisan, tj. postoje a,b,c (bar jedan nije nula) t.d.
a(x+y)+b(y+z)+c(z+x) = 0
tj.
ax+ay+by+bz+cz+cx = 0
x(a+c)+y(a+b)+z(b+c) = 0
Kako je {x,y,z} nezavisan, onda je i a+c=a+b=b+c=0
To su 3 jednadzbe sa 3 nepoznanice:
a+c=0 ⇒ a=-c
a+b=0 ⇒ a=-b
b+c=0 ⇒ b=-c
Iz prve dvije imas c=-a=b, a iz trece c=-b, pa je a=b=c=0, sto je u kontradikciji s pretpostavkom (bar jedan nije nula). 
Dakle, pretpostavka o linearnoj zavisnosti skupa {x+y,y+z,z+x} ne vrijedi, tj. skup {x+y,y+z,z+x} je lin. nezavisan.
Evo, nadam se da je bilo bar donekle korisno.
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
