o otvorenim skupovima u IR

[defar]

ne sjetih se boljeg naslova, nazalost.
a radi se o sljedecoj tvrdnji koja me zaskocila maloprije iz skripte o obicnim diferencijalnim jednadjbama:

neka je S otvoren, neprazan podskup od IR. tada je S unija od najvise prebrojivo mnogo medjusobno disjunktnih otvorenih intervala.

otv. interval=:"interval" je skup {x E IR: a<x<b; a, b E IR}, valjda.
misli se, valjda, da je S<IR otvoren <=> za svaku tocku iz S postoji otvoren interval koji je sadrzi i koji je sadrzan u S.


sad, nekako mi se cini, s obzirom da za svaka dva x, y iz IR vrijedi ili x>=y ili y>=x, i s obzirom na definiciju intervala....u biti je jedini nacin da se otv. skup S prikaze kao neprebrojiva unija podskupova od IR je
U{x}, x E S , a {x} je zatvoren nije interval.
mislim, trebalo bi se moc nekako "prebrojit" te intervale s obzirom na gorespomenuti uredjaj...............bleeeuuuu
moze li mi netko pomoc da progledam?

_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'

[Boris Davidovič]

Gledamo euklidsku topologiju.
Prototip otvorenog skupa u R je otvoreni interval ili proizvoljna unija istih.
Primjetimo da se unija dva(proizvoljno mnogo) nedisjunktna otvorena intervala može zapisati kao jedan otvoreni interval.
Dakle otvoreni skupovi u R su unije disjunktnih otvorenih intervala i ništa više (kad bi jedan rub bio uključen svaka otvorena okolina tog ruba bi neprazno sjekla komplement, za izoliranu točku isto).

Sjetimo se da je Q gust u R, pa u svakom otvorenom intervalu iz te unije postoji jedan racionalan broj.
Ako je naš skup konačna unija o.k., a ako je beskonačna, iz pretpostavke da je neprebrojiva bi slijedilo da smo našli neprebrojiv podskup od Q(jer su intervali disjunktni, pa su ti racionlni brojevi međusobno različiti).Kontradikcija.
Dakle, ako je disjunktna unija beskonačna, onda je prebrojiva.

[defar]

hvala na odgovoru!

_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'