dobivanje ranga i defekta

[Gost]

Trebam malu pomoc. Nekuzim razliku izmedu ranga i defekta. Znam da je rang broj ne nul redaka nakon elementarnih transformacija. ali me zanima sta je defekt i kako se on dobiva?

[Tonci]

Po teoremu o rangu i defektu, suma ranga i defekta svakog linearno operatora jednaka je dimenziji polaznog prostora. Dakle, ako je rang broj n-nul redaka, onda je defekt broj nul-redaka. (Broj redaka je dimenzija polaznog prostora.)

Prave definicije su da je rang operatora A dimenzija slike (tj. dimenzija prostora koji se sastoji od svih elemenata u dolaznom prostoru ("domeni") koji se mogu dobiti preko toga operatora, dakle svih onih y takvih da je y=A(x) za neki x), a defekt je dimenzija jezgre, dakle, dimenzija prostora svih onih x-eva koji se preslikavaju u nulu.

Na teorem o rangu i defektu mozes gledat neformalno ovako: svaki x ili se preslika u neki ne-nul element (pa pridonosi dimneziji slike, rangu) ili se preslika u nulu (pa pridonosi dimenziji jezgre, defektu). Zato je ukupna dimnzija prostora x-eva jednaka zbroju ranga i defekta.

[Gost]

Da bi prethodno tumačenje bilo preciznije, trebalo bi reći da se uzme bilo koja baza domene i za _svaki x iz te baze_ gleda se da li se preslikava u nenul vektor (i time "doprinosi" rangu) ili u 0 (pa "doprinosi" defektu), jer pojedini vektori, kad se uzimaju iz cijelog prostora, neće doprinositi rangu ili defektu.