|
[color=darkblue]prijedlog za informativniji Subject: Anihilator prostora zadanog jednadžbama (provjera).[/color]
[quote="filipnet"]Neka je M prostor rjesenja homogenog sustava
x1 + x2 − x3 − 3x4 = 0
x2 − 2x3 − 2x4 = 0 .
Odredite neku bazu za M0, tj. za anihilator od M.[/quote]
Ovo je trivijalno. Samo treba shvatiti što zadatak kaže.
Ovo gore se može interpretirati kao sustav jednadžbi koje određuju vektore u M . No isto se tako može interpretirati kao skup izjava _neki funkcional poništava sve vektore iz M _, odnosno element je od M^0 . Jasno?
Konkretno, prva jednadžba kaže: funkcional f1(x1..4):=x1+x2-x3-3x4 je 0 na svim vektorima iz M . f1 je očito u M^0 .
Analogno, iz druge jednadžbe čitamo da je funkcional f2(x1..4):=x2-2x3-2x4 također u M^0 .
Zatim, iz činjenice da je M zadan kao skup _svih_ vektora koji zadovoljavaju te dvije jednadžbe, f1 i f2 (i njihove linearne kombinacije) su jedini funkcionali koji poništavaju sve vektore iz M . Drugim riječima, {f1,f2} je skup izvodnica za M^0 .
Lako se provjeri da su f1 i f2 linearno nezavisni (dualni su vektorima (1,1,-1,-3) i (0,1,-2,-2) , a ovi su očito neproporcionalni). Dakle, (f1,f2) je jedna baza za M^0 .
_Primijeti_ da su u bazi za M^0 _funkcionali_ iz (|R^4)^*, ne vektori iz |R^4 . Oni imaju svoje dualne vektore, što je gore iskorišteno za pokazati nezavisnost, no to nisu iste stvari.
[quote] Provjerite je li
funkcional f(x1, x2, x3, x4) = x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 u M0?[/quote]
Sve što trebaš odgovoriti je može li se f prikazati kao linearna kombinacija f1 i f2 . Prelaskom na dual, je li (1,-2,3,-4) linearna kombinacija od (1,1,-1,-3) i (0,1,-2,-2) ? Na to pitanje se nadam da znaš odgovoriti.
HTH,
prijedlog za informativniji Subject: Anihilator prostora zadanog jednadžbama (provjera).
| filipnet (napisa): | Neka je M prostor rjesenja homogenog sustava
x1 + x2 − x3 − 3x4 = 0
x2 − 2x3 − 2x4 = 0 .
Odredite neku bazu za M0, tj. za anihilator od M. |
Ovo je trivijalno. Samo treba shvatiti što zadatak kaže.
Ovo gore se može interpretirati kao sustav jednadžbi koje određuju vektore u M . No isto se tako može interpretirati kao skup izjava _neki funkcional poništava sve vektore iz M _, odnosno element je od M^0 . Jasno?
Konkretno, prva jednadžba kaže: funkcional f1(x1..4):=x1+x2-x3-3x4 je 0 na svim vektorima iz M . f1 je očito u M^0 .
Analogno, iz druge jednadžbe čitamo da je funkcional f2(x1..4):=x2-2x3-2x4 također u M^0 .
Zatim, iz činjenice da je M zadan kao skup _svih_ vektora koji zadovoljavaju te dvije jednadžbe, f1 i f2 (i njihove linearne kombinacije) su jedini funkcionali koji poništavaju sve vektore iz M . Drugim riječima, {f1,f2} je skup izvodnica za M^0 .
Lako se provjeri da su f1 i f2 linearno nezavisni (dualni su vektorima (1,1,-1,-3) i (0,1,-2,-2) , a ovi su očito neproporcionalni). Dakle, (f1,f2) je jedna baza za M^0 .
_Primijeti_ da su u bazi za M^0 _funkcionali_ iz (|R^4)^*, ne vektori iz |R^4 . Oni imaju svoje dualne vektore, što je gore iskorišteno za pokazati nezavisnost, no to nisu iste stvari.
| Citat: | Provjerite je li
funkcional f(x1, x2, x3, x4) = x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 u M0? |
Sve što trebaš odgovoriti je može li se f prikazati kao linearna kombinacija f1 i f2 . Prelaskom na dual, je li (1,-2,3,-4) linearna kombinacija od (1,1,-1,-3) i (0,1,-2,-2) ? Na to pitanje se nadam da znaš odgovoriti.
HTH,
|
Everything happens with a reason! 
