Zadatak Lin. operator (s matricama)

[Markec]

Zad.

Zadan je linearni operator
A: M2(R) -> M(R)



a) Odredite r(A), d(A), te po jednu bazu za KerA i ImA
b) Odredite matricu od A u kanonskoj bazi od M2(R)

Rj.

a) KerA= { }

a-b=0
-a+b+2c=0
a-c-d=0
-a+2c+d=0

=> a=b=d c=0

stavimo da je a= s s@R

KerA= { }

d(A)=1
r(a)=3

Nademo Im i bazu...

b)
Trebamo odrediti matricu od A u kanonskoj bazi od M2(R)???

[veky]

(prvi dio je točan)

[HijenA]

[veky]

[HijenA]

[Gost]

Kako se tocno odredi baza za Im. Ok rang je 3, dakle ima tri elementa. A kako ih naci?

[Gost]

Opcenito, skup izvodnica za Im je skup slika vektora (bilo koje) baze domene pa se nadju te slike i dobiveni skup reducira na linearno nezavisan. U konkretnom zadatku, nadju se slike 4 matrice koje cine bazu i onda se ukloni jedna koja se moze izraziti kao lin. kombinacija ostalih (moze se primijeniti cinjenica da ce se jedan dati prikazati pomocu prethodnih).
Dakle, neka je f s V u W linearni operator i (e1,..., en) baza od V.
Medju vektorima f(e1),...,f(en) postoji baza za Im f pa se primijeni redukcija skupa izvodnica (za Im f) do baze.

[Gost]

A broj tih vektora koji će činiti bazu je upravo r=n-d jel tako?
Znaći u konkretnom primjeru nadjem A([1 0 // 0 0]) ... A([0 0 // 0 1]) i odabarem onda tri koja su linearna nezavisna i to je baza?
Hvala.