|
[quote="plavooka"]može li mi netko riješiti ovaj zadatak :) :
U krugu je istaknuto m tetiva tako da se nikoje 3 ne sijeku u unutrašnjosti kruga. Neka n označava broj točaka presjeka tih tetiva u unutrašnjosti kruga. Na koliko je područja podijeljen taj krug?[/quote]
[color=darkblue]Ideja za bolji Subject: na koliko dijelova tetive dijele krug?[/color]
Dakle, ako imamo n=0 tetiva, tada očito imamo i m=0 presjekâ, i broj dijelova je b(0,0)=1 .
Sad pretpostavimo da imamo n tetiva, s m točaka presjeka, koje dijele krug na b(n,m) dijelova. Dodajmo još jednu tetivu. n se povećao za 1 , a m se povećao za broj točaka u kojima ta nova tetiva siječe preostalih n . Označimo taj broj s k . Tih k točaka dijele (n+1). tetivu na k+1 dijelova, i svaki od njih prolazi nekim od b(n,m) dijelova kruga, dijeleći ga na dva dijela. Dakle broj dijelova se povećao za k+1 , pa je b(n+1,m+k)=b(n,m)+k+1 . To sugerira da stvar raste linearno i sa m i sa n , i to s koeficijentima 1 , dakle b(n,m)=n+m+c , za neki c . Iz početnog uvjeta b(0,0)=1 dobije se c=1 , odnosno hipoteza je b(n,m)=n+m+1 .
Ajmo to dokazati: matematičkom indukcijom po n . Dakle dokazujemo da za svaki n@\N , _za sve moguće m _, vrijedi b(n,m)=n+m+1 .
[color=darkblue]Baza:[/color] ako je n=0 , nema tetivâ, pa nema ni točaka presjeka: jedini mogući m je m=0 . b(0,0) je tada 1 , a to je 0+0+1 , pa imamo što trebamo.
[color=darkblue]Pretpostavka:[/color] Pretpostavimo da _za neki n_, _za sve m koji dolaze u obzir_, imamo b(n,m)=n+m+1 . Dakle, u to ćemo moći uvrstiti bilo koji m' za koji znamo da je moguće da se n tetivâ unutar kruga sijeku u m' točaka.
[color=darkblue]Korak:[/color] Imamo krug s (n+1)-om tetivom unutra, i neka se one sijeku u m točaka. m je dakle moguć broj za n+1 . Tražimo b(n+1,m) .
Izbrišimo jednu tetivu iz kruga. Time dobijemo novu sliku, krug' , u kojem imamo n tetivâ, i neki manji (ne nužno strogo manji) broj sjecištâ, m' . m' je dakle sigurno moguć broj za n , pa po pretpostavci indukcije imamo b(n,m')=n+m'+1 .
Ako sad vratimo tu (n+1). tetivu natrag, prebrojimo njena sjecišta s ostalima i broj njih označimo s k , vidjet ćemo (kao gore) da se broj područjâ povećao za k+1 . Dakle imamo b(n+1,m)=b(n,m')+k+1=n+m'+1+k+1=(n+1)+(m'+k)+1 .
No broj sjecištâ u početnoj slici s n+1 tetivâ jednak je upravo m=m'+k -- m' sjecištâ u kojima sudjeluje prijašnjih n tetivâ, i k ovih u kojima sudjeluje ova nova (nikoje 3 se ne sijeku u istoj točki, pa je ovih m' i ovih k sigurno disjunktno -- možemo ih zbrojiti i dobiti kardinalitet unije). Pa je dakle b(n+1,m)=(n+1)+m+1 , korak je dokazan, te je indukcijom dokazana tvrdnja. [color=brown]Broj područjâ na koje tetive (od kojih nikoje 3 nisu konkurentne) dijele krug jednak je sljedbeniku zbroja broja tetivâ i broja njihovih unutrašnjih sjecištâ.[/color]
[size=9](Napomena: "unutar kruga" mi zaista znači u unutrašnjosti, dakle ne brojim sjecišta na rubu. Inače, naravno, formula ne vrijedi.)
[/size]
Zgodan zadatak. :-)
| plavooka (napisa): | može li mi netko riješiti ovaj zadatak  :
U krugu je istaknuto m tetiva tako da se nikoje 3 ne sijeku u unutrašnjosti kruga. Neka n označava broj točaka presjeka tih tetiva u unutrašnjosti kruga. Na koliko je područja podijeljen taj krug? |
Ideja za bolji Subject: na koliko dijelova tetive dijele krug?
Dakle, ako imamo n=0 tetiva, tada očito imamo i m=0 presjekâ, i broj dijelova je b(0,0)=1 .
Sad pretpostavimo da imamo n tetiva, s m točaka presjeka, koje dijele krug na b(n,m) dijelova. Dodajmo još jednu tetivu. n se povećao za 1 , a m se povećao za broj točaka u kojima ta nova tetiva siječe preostalih n . Označimo taj broj s k . Tih k točaka dijele (n+1). tetivu na k+1 dijelova, i svaki od njih prolazi nekim od b(n,m) dijelova kruga, dijeleći ga na dva dijela. Dakle broj dijelova se povećao za k+1 , pa je b(n+1,m+k)=b(n,m)+k+1 . To sugerira da stvar raste linearno i sa m i sa n , i to s koeficijentima 1 , dakle b(n,m)=n+m+c , za neki c . Iz početnog uvjeta b(0,0)=1 dobije se c=1 , odnosno hipoteza je b(n,m)=n+m+1 .
Ajmo to dokazati: matematičkom indukcijom po n . Dakle dokazujemo da za svaki n@\N , _za sve moguće m _, vrijedi b(n,m)=n+m+1 .
Baza: ako je n=0 , nema tetivâ, pa nema ni točaka presjeka: jedini mogući m je m=0 . b(0,0) je tada 1 , a to je 0+0+1 , pa imamo što trebamo.
Pretpostavka: Pretpostavimo da _za neki n_, _za sve m koji dolaze u obzir_, imamo b(n,m)=n+m+1 . Dakle, u to ćemo moći uvrstiti bilo koji m' za koji znamo da je moguće da se n tetivâ unutar kruga sijeku u m' točaka.
Korak: Imamo krug s (n+1)-om tetivom unutra, i neka se one sijeku u m točaka. m je dakle moguć broj za n+1 . Tražimo b(n+1,m) .
Izbrišimo jednu tetivu iz kruga. Time dobijemo novu sliku, krug' , u kojem imamo n tetivâ, i neki manji (ne nužno strogo manji) broj sjecištâ, m' . m' je dakle sigurno moguć broj za n , pa po pretpostavci indukcije imamo b(n,m')=n+m'+1 .
Ako sad vratimo tu (n+1). tetivu natrag, prebrojimo njena sjecišta s ostalima i broj njih označimo s k , vidjet ćemo (kao gore) da se broj područjâ povećao za k+1 . Dakle imamo b(n+1,m)=b(n,m')+k+1=n+m'+1+k+1=(n+1)+(m'+k)+1 .
No broj sjecištâ u početnoj slici s n+1 tetivâ jednak je upravo m=m'+k – m' sjecištâ u kojima sudjeluje prijašnjih n tetivâ, i k ovih u kojima sudjeluje ova nova (nikoje 3 se ne sijeku u istoj točki, pa je ovih m' i ovih k sigurno disjunktno – možemo ih zbrojiti i dobiti kardinalitet unije). Pa je dakle b(n+1,m)=(n+1)+m+1 , korak je dokazan, te je indukcijom dokazana tvrdnja. Broj područjâ na koje tetive (od kojih nikoje 3 nisu konkurentne) dijele krug jednak je sljedbeniku zbroja broja tetivâ i broja njihovih unutrašnjih sjecištâ.
(Napomena: "unutar kruga" mi zaista znači u unutrašnjosti, dakle ne brojim sjecišta na rubu. Inače, naravno, formula ne vrijedi.)
Zgodan zadatak.
|
