| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: 
|
 Postano: 16:01 pet, 4. 2. 2005 Naslov: |
    |
|
|
[quote]da li je reći da je nešto glatko homeomorfno isto što i reći da je difeomorfno[/quote]
Nije.
[u]Difeomorfizam[/u] je bijekcija takva da su i ona i njezin inverz [u]glatka[/u] preslikavanja.
[u]Homeomorfizam[/u] je bijekcija takva da su i ona i njezin inverz (samo) [u]neprekidna[/u] preslikavanja.
Dakle, [u]glatki homeomorfizam[/u] ne mora imati glatki inverz, tj. gladak je u jednom smjeru, a (općenito) samo neprekidan u drugom.
Npr. f:R->R, f(x)=x^3.
To je homeomorfizam, f je glatka, ali f^(-1) nije niti derivabilna u 0.
(Tako bih ja shvatio pojam "glatke homeomorfnosti" i tako je na MA4. Ali ako nam "glatko homeomorfno" znači glatko u [u]oba[/u] smjera, onda naravno da je to sinonim za "difeomorfno".)
[quote]Da li netko zna zašto je f-ja "fi" koja preslikava pravokutnik I u unutrašnje područje B unija kontura "gama" klase C2. Naime iz Schonfliesova teorem slijedi samo da je preslikavanje difeomorfno.[/quote]
Schonfliesov teorem daje homeomorfizam sa zatvorenog jediničnog kruga na konturu s unutrašnjim područjem koji baš homeomorfno preslikava nutrinu na nutrinu i rub na rub.
Dodatak teoremu je: ako je kontura glatka klase C^p, onda se može postići i da gornji homeomorfizam bude difeomorfizam klase C^p (koji još i čuva orijentaciju). To znači: i on i njegov inverz su klase C^p.
To nam koristi u dokazu Greenovog teorema za konture klase C^2. (Za općenitije po dijelovima glatke konture možemo naknadno koristiti neke argumente aproksimacije, npr. poligonalnim linijama i sl.)
--------
Konačno, ako želimo preslikavanje definirano na nekoj okolini zatvorenog pravokutnika (radije nego zatvorenog kruga), onda gornje preslikavanje komponiramo s preslikavanjem R^2->R^2 klase C^2 koje homeomorfno preslikava pravokutnik na krug, nutrinu na nutrinu, rub na rub.
(Na predavanjima je napomenuto da takvo preslikavanje postoji.)
Komponiranjem ćemo dobiti preslikavanje klase C^2 (što nam treba), ali inverz će sada biti samo neprekidan (što nam ne smeta). Dakle, to više neće biti difeomorfizam, ali to nam niti nije važno.
Ono je klase C^2 i homeomorfizam, ali [u]nije[/u] difeomorfizam, što uostalom niti ne može biti jer kvadrat i krug nisu difeomorfni.
| Citat: | | da li je reći da je nešto glatko homeomorfno isto što i reći da je difeomorfno |
Nije.
Difeomorfizam je bijekcija takva da su i ona i njezin inverz glatka preslikavanja.
Homeomorfizam je bijekcija takva da su i ona i njezin inverz (samo) neprekidna preslikavanja.
Dakle, glatki homeomorfizam ne mora imati glatki inverz, tj. gladak je u jednom smjeru, a (općenito) samo neprekidan u drugom.
Npr. f:R→R, f(x)=x^3.
To je homeomorfizam, f je glatka, ali f^(-1) nije niti derivabilna u 0.
(Tako bih ja shvatio pojam "glatke homeomorfnosti" i tako je na MA4. Ali ako nam "glatko homeomorfno" znači glatko u oba smjera, onda naravno da je to sinonim za "difeomorfno".)
| Citat: | | Da li netko zna zašto je f-ja "fi" koja preslikava pravokutnik I u unutrašnje područje B unija kontura "gama" klase C2. Naime iz Schonfliesova teorem slijedi samo da je preslikavanje difeomorfno. |
Schonfliesov teorem daje homeomorfizam sa zatvorenog jediničnog kruga na konturu s unutrašnjim područjem koji baš homeomorfno preslikava nutrinu na nutrinu i rub na rub.
Dodatak teoremu je: ako je kontura glatka klase C^p, onda se može postići i da gornji homeomorfizam bude difeomorfizam klase C^p (koji još i čuva orijentaciju). To znači: i on i njegov inverz su klase C^p.
To nam koristi u dokazu Greenovog teorema za konture klase C^2. (Za općenitije po dijelovima glatke konture možemo naknadno koristiti neke argumente aproksimacije, npr. poligonalnim linijama i sl.)
--------
Konačno, ako želimo preslikavanje definirano na nekoj okolini zatvorenog pravokutnika (radije nego zatvorenog kruga), onda gornje preslikavanje komponiramo s preslikavanjem R^2→R^2 klase C^2 koje homeomorfno preslikava pravokutnik na krug, nutrinu na nutrinu, rub na rub.
(Na predavanjima je napomenuto da takvo preslikavanje postoji.)
Komponiranjem ćemo dobiti preslikavanje klase C^2 (što nam treba), ali inverz će sada biti samo neprekidan (što nam ne smeta). Dakle, to više neće biti difeomorfizam, ali to nam niti nije važno.
Ono je klase C^2 i homeomorfizam, ali nije difeomorfizam, što uostalom niti ne može biti jer kvadrat i krug nisu difeomorfni.
|
|
| [Vrh] |
|
menschen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 02. 2004. (00:14:25)
Postovi: (38)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol: 
|
| Postano: 23:22 pon, 24. 9. 2007 Naslov: |
|
|
|
Ozivljavam stari topic, ali vjeko se ovdje bas potrudio pa da ne padne u zaborav. Ono sto mene muci je slijedece :
[quote="vjekovac"]To nam koristi u dokazu Greenovog teorema za konture klase C^2. (Za općenitije po dijelovima glatke konture možemo naknadno koristiti neke argumente aproksimacije, npr. poligonalnim linijama i sl.)[/quote]
Dakle mi u dokazu zapravo presutno pretpostavljamo da je nasa kontura klase C^2? Jer ne vidim kako bismo inace mogli dobiti da je fi klase C^2.
Nadalje, muci me to da smo rekli da fi [b]homeomorfno[/b] preslikava rub od I na konturu, no onda kasnije kazemo da je kompozicija
[latex]\eta = (\phi|_{\partial I})^{-1}\circ \gamma[/latex] po dijelovima gladak put. Nije li moguce da, buduci da je [latex](\phi|_{\partial I})^{-1}[/latex] samo neprekidno i eta bude samo neprekidno?
Ozivljavam stari topic, ali vjeko se ovdje bas potrudio pa da ne padne u zaborav. Ono sto mene muci je slijedece :
| vjekovac (napisa): | | To nam koristi u dokazu Greenovog teorema za konture klase C^2. (Za općenitije po dijelovima glatke konture možemo naknadno koristiti neke argumente aproksimacije, npr. poligonalnim linijama i sl.) |
Dakle mi u dokazu zapravo presutno pretpostavljamo da je nasa kontura klase C^2? Jer ne vidim kako bismo inace mogli dobiti da je fi klase C^2.
Nadalje, muci me to da smo rekli da fi homeomorfno preslikava rub od I na konturu, no onda kasnije kazemo da je kompozicija
 po dijelovima gladak put. Nije li moguce da, buduci da je  samo neprekidno i eta bude samo neprekidno?
_________________
Bri
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol:
|
| Postano: 10:21 pon, 8. 10. 2007 Naslov: |
|
|
|
evo ako nekoga zanima, uz svesrdnu vjekinu pomoc uspjesno je raspetljano...
Postoji dodatak Schoenfliesovom teoremu koji kaze da ako je kontura klase C^p, moze se postici da je preslikavanje klase C^p. Dakle u dokazu presutno pretpostavljamo da je kontura klase C^2. Ako je klase C^1, mozemo postici da je klase C^2 na nutrini kruga (a C^1 na rubu), a to nam je dovoljno dobro jer se integrira po pravokutniku, ciji rub ima povrsinu 0, pa nam to ne utjece na integral.
Sto se tice preslikavanja sa kvadrata na krug, mozemo konstruirati preslikavanje klase C^2 koje preslikava difeomorfno nutrinu kvadrata na nutrinu kruga, i homeomorfno rub kvadrata na rub kruga. Ne mozemo postici da je to preslikavanje difeomorfno na vijelom rubu, ali mozemo postici da je inverz klase C^1 osim u cetiri tocke (jer kvadrat ima coskove), u kojima nije ni diferencijabilan. Pa mi zapravo uzmemo takvo preslikavanje (a ne samo homeomorfno) i onda nam je eta definiran kao u dokazu klase C^1 osim u 4 tocke, za koje mozemo namjestiti da ima limese derivacije slijeva i sdesna, pa je zato eta PDG.
evo ako nekoga zanima, uz svesrdnu vjekinu pomoc uspjesno je raspetljano...
Postoji dodatak Schoenfliesovom teoremu koji kaze da ako je kontura klase C^p, moze se postici da je preslikavanje klase C^p. Dakle u dokazu presutno pretpostavljamo da je kontura klase C^2. Ako je klase C^1, mozemo postici da je klase C^2 na nutrini kruga (a C^1 na rubu), a to nam je dovoljno dobro jer se integrira po pravokutniku, ciji rub ima povrsinu 0, pa nam to ne utjece na integral.
Sto se tice preslikavanja sa kvadrata na krug, mozemo konstruirati preslikavanje klase C^2 koje preslikava difeomorfno nutrinu kvadrata na nutrinu kruga, i homeomorfno rub kvadrata na rub kruga. Ne mozemo postici da je to preslikavanje difeomorfno na vijelom rubu, ali mozemo postici da je inverz klase C^1 osim u cetiri tocke (jer kvadrat ima coskove), u kojima nije ni diferencijabilan. Pa mi zapravo uzmemo takvo preslikavanje (a ne samo homeomorfno) i onda nam je eta definiran kao u dokazu klase C^1 osim u 4 tocke, za koje mozemo namjestiti da ima limese derivacije slijeva i sdesna, pa je zato eta PDG.
_________________
Bri
|
|
| [Vrh] |
|
|
