| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
DAVOR
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 10. 2003. (22:01:24)
Postovi: (25)16
|
|
| [Vrh] |
|
Crni
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 12. 2003. (01:20:43)
Postovi: (23C)16
Spol: 
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: 
|
 Postano: 17:16 sub, 5. 2. 2005 Naslov: |
    |
|
|
[quote="Davor"]Ni mi jasno kako 4 točke mogu tvoriti 4 različita paralelotopa[/quote]
Zašto te to čudi? Isto tako 3 točke A,B,C određuju 3 paralelograma (=2-paralelotopa). Pogledaj "sliku" (u 2 dimenzije):
[code:1] C' A B'
B C
A'[/code:1]
Točke A,B,C određuju paralelograme ABA'C, BCB'A, CAC'B.
Sada samo upotrijebi maštu u dimenziji više. :mrgreen:
A sada formalno:
Točke A,B,C,D određuju 4 3-paralelotopa (trodimenzionalna, s po 8 vrhova -> to se nekad zove paralelopiped).
Njih dobijemo tako da istaknemo jednu od točaka, npr. A, kao vrh, a dužine AB, AC, AD uzmemo za bridove paralelotopa. Vrh paralelotopa suprotan vrhu A (nazovimo ga A') je određen s
[latex]\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}[/latex]
Analogno dobijemo točke B',C',D'.
Tražena konveksna ljuska je simpleks (trodimenzionalni -> kaže se i tetraedar) A'B'C'D'.
Možeš si zamisliti sliku u 3 dimenzije, a u dvije dimenzije je očigledno (vidi gornju "sliku").
Dokaz bi išao ovako. To je ujedno ideja za omjer volumena.
Neka je T težište simpleksa ABCD.
To znači
[latex]\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{TD}=\overrightarrow{0}[/latex]
pa uz malo prebacivanja dobivamo
[latex]\overrightarrow{AT}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}[/latex]
odakle slijedi
[latex]\overrightarrow{AA'}=4\overrightarrow{AT}[/latex]
tj.
[latex]\overrightarrow{TA'}=-3\overrightarrow{TA}[/latex]
Dakle, simpleks A'B'C'D' je slika simpleksa ABCD po homotetiji sa središtem T i konstantom -3.
Ali (inverzna) homotetija sa središtem T i konstantom -1/3 preslikava sve vrhove svih četiriju paralelotopa određenih s A,B,C,D unutar (ili na rub) simpleksa ABCD pa, obratno, simpleks A'B'C'D' sadrži (kao nadskup) sve te paralelotope.
(Kažem, ovaj argument nije toliko bitan ako skupovnu inkluziju "vidiš" sa slike.)
Konačno, gornja homotetija povećava 3-volumen 3^3 puta (apsolutno od koeficijenta^dimenzija volumena) pa je omjer volumena 3^3=27.
Valjda je i as. Mea zamislila da se to tako riješi. :-k
| Davor (napisa): | | Ni mi jasno kako 4 točke mogu tvoriti 4 različita paralelotopa |
Zašto te to čudi? Isto tako 3 točke A,B,C određuju 3 paralelograma (=2-paralelotopa). Pogledaj "sliku" (u 2 dimenzije):
Točke A,B,C određuju paralelograme ABA'C, BCB'A, CAC'B.
Sada samo upotrijebi maštu u dimenziji više. 
A sada formalno:
Točke A,B,C,D određuju 4 3-paralelotopa (trodimenzionalna, s po 8 vrhova → to se nekad zove paralelopiped).
Njih dobijemo tako da istaknemo jednu od točaka, npr. A, kao vrh, a dužine AB, AC, AD uzmemo za bridove paralelotopa. Vrh paralelotopa suprotan vrhu A (nazovimo ga A') je određen s
Analogno dobijemo točke B',C',D'.
Tražena konveksna ljuska je simpleks (trodimenzionalni → kaže se i tetraedar) A'B'C'D'.
Možeš si zamisliti sliku u 3 dimenzije, a u dvije dimenzije je očigledno (vidi gornju "sliku").
Dokaz bi išao ovako. To je ujedno ideja za omjer volumena.
Neka je T težište simpleksa ABCD.
To znači
pa uz malo prebacivanja dobivamo
odakle slijedi
tj.
Dakle, simpleks A'B'C'D' je slika simpleksa ABCD po homotetiji sa središtem T i konstantom -3.
Ali (inverzna) homotetija sa središtem T i konstantom -1/3 preslikava sve vrhove svih četiriju paralelotopa određenih s A,B,C,D unutar (ili na rub) simpleksa ABCD pa, obratno, simpleks A'B'C'D' sadrži (kao nadskup) sve te paralelotope.
(Kažem, ovaj argument nije toliko bitan ako skupovnu inkluziju "vidiš" sa slike.)
Konačno, gornja homotetija povećava 3-volumen 3^3 puta (apsolutno od koeficijenta^dimenzija volumena) pa je omjer volumena 3^3=27.
Valjda je i as. Mea zamislila da se to tako riješi. 
|
|
| [Vrh] |
|
DAVOR
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 10. 2003. (22:01:24)
Postovi: (25)16
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3560)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 22:40 sub, 5. 2. 2005 Naslov: |
|
|
|
[quote="vjekovac"][quote="DAVOR"]Thnx, vjekovac, stvarno mi je puno pomoglo :lol:[/quote]
Jel' ja to vidim trunku ironije? :sherlock: :)[/quote]
Ne bih rekao... :? Mislim da je zahvala iskrena, a nesporazum potjece iz nesretne upotrebe smajlija koji oznacava [b]smijeh[/b] umjesto [b]osmjeha[/b]: :lol:
Slicno je i s ":P" koji se, zbog plazenog jezika, koristi za reci "[i]shalim se[/i]", "[i]zezam te[/i]" i sl. Ipak, mnogi na ovom Forumu tog smajlija s jezikom koriste kao zamjenu za obicni ":)".
| vjekovac (napisa): | | DAVOR (napisa): | Thnx, vjekovac, stvarno mi je puno pomoglo  |
Jel' ja to vidim trunku ironije?   |
Ne bih rekao...  Mislim da je zahvala iskrena, a nesporazum potjece iz nesretne upotrebe smajlija koji oznacava smijeh umjesto osmjeha:
Slicno je i s " " koji se, zbog plazenog jezika, koristi za reci "shalim se", "zezam te" i sl. Ipak, mnogi na ovom Forumu tog smajlija s jezikom koriste kao zamjenu za obicni "".
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
|
| [Vrh] |
|
mea
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 12. 2002. (13:22:34)
Postovi: (1F0)16
|
|
| [Vrh] |
|
DAVOR
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 10. 2003. (22:01:24)
Postovi: (25)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
