|
[quote="Grga"]Imam mali problem sa teoremom koji smo radili kod profesora Antonica. Naime teorem kaze da jednostavne operacije na recima ne utjecu na stupcani rang (te jednostavne operacije po stupcima na redcani). Iako mi je to intuitivno jasno, ne znam kako bih to dokazao, a u mojoj biljeznici vezano uz to nalazi se samo(citiram): "Utjecu li jednostavne operacije po recima na stupcani rang? Ne."
Ili je to nesto uzasno trivijalno cega sam se trebao i sam sjetiti, ili smo dokaz radili na predavanju a da ja nisam primijetio (prilicno nevjerojatno), ili ce mi neka dobra dusa reci (ili barem dati hint) kako dokazati :P :)[/quote]
Ako baš želiš strogo dokazati, evo ti ideja: jednostavna operacija na recima od A je množenje matrice A nekom elementarnom matricom (vjerojatno ste radili koje su to, ako i niste vjerujem da možeš iz ove rečenice rekonstruirati kako izgledaju -- ako ne možeš, reci) slijeva. Dakle ako s T označimo danu elementarnu matricu, a s A' matricu nakon jednostavne operacije kodirane matricom T , tada je A'=TA . No matrica T je regularna, što se lako vidi ispitivanjem determinante ( -1 za zamjenu, lam za množenje s lam , te 1 za pribrajanje jednog retka drugom -- sve različito od 0 ), pa vrijedi i A=(T^-)A' .
E sad još samo trebaš dokazati da se množenjem matrice slijeva stupčani rang ne povećava: r(PA)<=r(A) za svaku matricu P (kvadratnu, množivu s A ). Nakon toga ćeš imati r(A')<=r(A) & r(A')>=r(A) , pa će iz toga slijediti da rang ostaje isti.
Kako to dokazati? IMO, najjednostavnije je prijeći na operatore. r(A) je dimenzija slike od A (gdje s istim slovom označavam operator zadan na kanonskoj bazi pomoću te matrice). Također, r(PA) je dimenzija slike kompozicije od P i A . Slika kompozicije PoA je jednostavno slika skupa ImA po operatoru P . Dakle preostalo je vidjeti da za operator P , s istom domenom i kodomenom (kvadratna matrica!) V , za potprostor X<V vrijedi dimP(X)<=dimX . (Onda će stvar slijediti za X:=ImA ).
U tu svrhu, ako je B baza za X , specijalno B je sustav izvodnicâ za X . Sad je sasvim lako vidjeti da je P(B) sustav izvodnicâ za P(X) ( proizvoljni element Pv se može zapisati pomoću elemenata od P(B) s istim koeficijentima s kojima se v može zapisati u bazi B ), te je cardP(B)>=dimP(X) (može se reducirati do baze). No P je funkcija -- svakom vektoru pridružuje točno jedan vektor, pa P(B) sigurno nema više elemenata nego B . Sve u svemu,
dimP(X)<=cardP(B)<=cardB=dimX .
HTH,
| Grga (napisa): | Imam mali problem sa teoremom koji smo radili kod profesora Antonica. Naime teorem kaze da jednostavne operacije na recima ne utjecu na stupcani rang (te jednostavne operacije po stupcima na redcani). Iako mi je to intuitivno jasno, ne znam kako bih to dokazao, a u mojoj biljeznici vezano uz to nalazi se samo(citiram): "Utjecu li jednostavne operacije po recima na stupcani rang? Ne."
Ili je to nesto uzasno trivijalno cega sam se trebao i sam sjetiti, ili smo dokaz radili na predavanju a da ja nisam primijetio (prilicno nevjerojatno), ili ce mi neka dobra dusa reci (ili barem dati hint) kako dokazati   |
Ako baš želiš strogo dokazati, evo ti ideja: jednostavna operacija na recima od A je množenje matrice A nekom elementarnom matricom (vjerojatno ste radili koje su to, ako i niste vjerujem da možeš iz ove rečenice rekonstruirati kako izgledaju – ako ne možeš, reci) slijeva. Dakle ako s T označimo danu elementarnu matricu, a s A' matricu nakon jednostavne operacije kodirane matricom T , tada je A'=TA . No matrica T je regularna, što se lako vidi ispitivanjem determinante ( -1 za zamjenu, lam za množenje s lam , te 1 za pribrajanje jednog retka drugom – sve različito od 0 ), pa vrijedi i A=(T^-)A' .
E sad još samo trebaš dokazati da se množenjem matrice slijeva stupčani rang ne povećava: r(PA)⇐r(A) za svaku matricu P (kvadratnu, množivu s A ). Nakon toga ćeš imati r(A')⇐r(A) & r(A')>=r(A) , pa će iz toga slijediti da rang ostaje isti.
Kako to dokazati? IMO, najjednostavnije je prijeći na operatore. r(A) je dimenzija slike od A (gdje s istim slovom označavam operator zadan na kanonskoj bazi pomoću te matrice). Također, r(PA) je dimenzija slike kompozicije od P i A . Slika kompozicije PoA je jednostavno slika skupa ImA po operatoru P . Dakle preostalo je vidjeti da za operator P , s istom domenom i kodomenom (kvadratna matrica!) V , za potprostor X<V vrijedi dimP(X)⇐dimX . (Onda će stvar slijediti za X:=ImA ).
U tu svrhu, ako je B baza za X , specijalno B je sustav izvodnicâ za X . Sad je sasvim lako vidjeti da je P(B) sustav izvodnicâ za P(X) ( proizvoljni element Pv se može zapisati pomoću elemenata od P(B) s istim koeficijentima s kojima se v može zapisati u bazi B ), te je cardP(B)>=dimP(X) (može se reducirati do baze). No P je funkcija – svakom vektoru pridružuje točno jedan vektor, pa P(B) sigurno nema više elemenata nego B . Sve u svemu,
dimP(X)⇐cardP(B)⇐cardB=dimX .
HTH,
|
