|
[quote="filipnet"]Hamilton-Cayleyev teorem kaze da svaka kvadratna matrica A ponistava svoj svojstveni polinom, tj. C(A)=0 to kuzim[/quote]
To je već puno. :-)
[quote], a minimalni polinom dijeli svojstveni polinom, zar ne?[/quote]
Da. To je direktna posljedica toga što je minimalan.
Naime, minimalni polinom matrice X se definira kao (normirani) polinom najmanjeg stupnja (dakle nenul-polinom) kojeg matrica X poništava.
Prvo se lako vidi da tako nešto postoji. Naime iz Hamilton-Cayleyevog teorema (ok, ovo baš i nije "lako":-). Postoji i lakši način: skup {X^k|k@[0..n^2]} je linearno zavisan u prostoru matricâ reda nxn) postoji _neki_ polinom kojeg X poništava (specijalno svojstveni polinom, još zvan karakteristični polinom, od X ), pa postoji i takav najmanjeg stupnja -- stupnjevi su prirodni brojevi, među stupnjevima svih polinoma koje X poništava sigurno postoji najmanji.
Onda se lako vidi da je jedinstven. Naime, da postoje dva, morali bi biti istog stupnja (jer ako nisu, onda ovaj većeg stupnja nije najmanjeg mogućeg stupnja: ), recimo s . Budući da su normirani, njihova razlika je stupnja najviše s-1 (vodeći članovi su x^s oba, pa se pokrate), a ako X poništava oba, onda poništava i njihovu razliku. Kad bi razlika imala stupanj, to bi bila kontradikcija. Dakle, razlika nema stupanj, odnosno razlika je nulpolinom, pa je zaista minimalni polinom jedinstven.
Sad još idemo vidjeti da je taj polinom "najmanji" (kojeg X poništava) u smislu djeljivosti polinoma -- dakle da dijeli svakog drugog, recimo p , za koji je također p(X)=0matrica .
Pa pretpostavimo da ne dijeli. Onda po teoremu o dijeljenju s ostatkom mogu podijeliti p s m , i dobiti polinomsku jednakost p(x)=m(x)*q(x)+r(x) , u koju mogu uvrstiti x=X . Budući da je p(X)=0matrica po pretpostavci, a m(X)=0matrica po definiciji minimalnog polinoma, dobije se da je i r(X)=0matrica , što bi bila kontradikcija (remember, r je strogo manjeg stupnja od m ) da r nije 0polinom . So, r jest 0polinom, pa m|p .
Dakle, m dijeli svakog koga X poništava, pa specijalno dijeli i karakteristični polinom od X .
[quote]meni nije u potpunosti jasan dokaz minimalnog polinoma.[/quote]
Dokaz minimalnog polinoma :? Minimalni polinom nije tvrdnja da se dokazuje... :-/ Misliš dokaz _egzistencije_ minimalnog polinoma?
[quote]u dokazu u mojim biljeskama glasi da polinom p(x)=ak*x^k+..... podijelimo sa vodecim koeficijentom i da tada dobimo p(x)/ak=m(x)=x^k+....[/quote]
To je samo normiranje. I osigurava da takav polinom bude jedinstven (slično kao kod NZM polinomâ). Veći dio posla je ono prije...
[quote]m(A)=0, do tud kuzim, e sada nam se pojavi drugi takav polinom q, zasto?[/quote]
Da si napisao što q označava, možda bih ti mogao više pomoći. [:-)]
Ovako, pročitaj ovo gore, pa ako još nešto nije jasno, vrisni. :-)
| filipnet (napisa): | | Hamilton-Cayleyev teorem kaze da svaka kvadratna matrica A ponistava svoj svojstveni polinom, tj. C(A)=0 to kuzim |
To je već puno. 
| Citat: | | , a minimalni polinom dijeli svojstveni polinom, zar ne? |
Da. To je direktna posljedica toga što je minimalan.
Naime, minimalni polinom matrice X se definira kao (normirani) polinom najmanjeg stupnja (dakle nenul-polinom) kojeg matrica X poništava.
Prvo se lako vidi da tako nešto postoji. Naime iz Hamilton-Cayleyevog teorema (ok, ovo baš i nije "lako". Postoji i lakši način: skup {X^k|k@[0..n^2]} je linearno zavisan u prostoru matricâ reda nxn) postoji _neki_ polinom kojeg X poništava (specijalno svojstveni polinom, još zvan karakteristični polinom, od X ), pa postoji i takav najmanjeg stupnja – stupnjevi su prirodni brojevi, među stupnjevima svih polinoma koje X poništava sigurno postoji najmanji.
Onda se lako vidi da je jedinstven. Naime, da postoje dva, morali bi biti istog stupnja (jer ako nisu, onda ovaj većeg stupnja nije najmanjeg mogućeg stupnja: ), recimo s . Budući da su normirani, njihova razlika je stupnja najviše s-1 (vodeći članovi su x^s oba, pa se pokrate), a ako X poništava oba, onda poništava i njihovu razliku. Kad bi razlika imala stupanj, to bi bila kontradikcija. Dakle, razlika nema stupanj, odnosno razlika je nulpolinom, pa je zaista minimalni polinom jedinstven.
Sad još idemo vidjeti da je taj polinom "najmanji" (kojeg X poništava) u smislu djeljivosti polinoma – dakle da dijeli svakog drugog, recimo p , za koji je također p(X)=0matrica .
Pa pretpostavimo da ne dijeli. Onda po teoremu o dijeljenju s ostatkom mogu podijeliti p s m , i dobiti polinomsku jednakost p(x)=m(x)*q(x)+r(x) , u koju mogu uvrstiti x=X . Budući da je p(X)=0matrica po pretpostavci, a m(X)=0matrica po definiciji minimalnog polinoma, dobije se da je i r(X)=0matrica , što bi bila kontradikcija (remember, r je strogo manjeg stupnja od m ) da r nije 0polinom . So, r jest 0polinom, pa m|p .
Dakle, m dijeli svakog koga X poništava, pa specijalno dijeli i karakteristični polinom od X .
| Citat: | | meni nije u potpunosti jasan dokaz minimalnog polinoma. |
Dokaz minimalnog polinoma  Minimalni polinom nije tvrdnja da se dokazuje... :-/ Misliš dokaz _egzistencije_ minimalnog polinoma?
| Citat: | | u dokazu u mojim biljeskama glasi da polinom p(x)=ak*x^k+..... podijelimo sa vodecim koeficijentom i da tada dobimo p(x)/ak=m(x)=x^k+.... |
To je samo normiranje. I osigurava da takav polinom bude jedinstven (slično kao kod NZM polinomâ). Veći dio posla je ono prije...
| Citat: | | m(A)=0, do tud kuzim, e sada nam se pojavi drugi takav polinom q, zasto? |
Da si napisao što q označava, možda bih ti mogao više pomoći. []
Ovako, pročitaj ovo gore, pa ako još nešto nije jasno, vrisni.
|
Everything happens with a reason! 
