|
[quote="filipnet"]U prostoru M2(R) zadan je skup M={
(1 -1) (-1 1) (0 0)
(0 1), (2 1), (1 1)}
Odredite neku bazu za anihilator od M.[/quote]
Ideš vidjeti kako izgleda tipični element f anihilatora od M . On mora poništavati sve tri matrice, dakle
f([1 -1//0 1])=f([-1 1//2 1])=f([0 0//1 1])=0 .
f je linearni funkcional s domenom M_2(|R) , pa je zadan svojim djelovanjem na bazi od M_2(|R) , dakle djelovanjem na E11 , E12 , E21 i E22 . Budući da matricama pridružuje realne brojeve, ovim gornjim matricama pridružuje 4 broja, a1 , a2 , a3 i a4 . No tada je
0=f([1 -1//0 1])=f(E11-E12+E22)=f(E11)-f(E12)+f(E22)=a1-a2+a4 , i isto tako
0=-a1+a2+2a3+a4 , i
0=a3+a4 .
To je linearni sustav tri jednadžbe s 4 nepoznanice, koji, kad se riješi, dobije se a4=t , a2=s (parametri), a3=-t i a1=s-t . Odnosno, naš tipični funkcional koji poništava M zadan je s uređenom četvorkom realnih brojeva (s-t,s,-t,t)=s(1,1,0,0)+t(-1,0,-1,1) . To znači, jer imamo linearnu strukturu, da je f linearna kombinacija (s koeficijentima s i t ) dvaju funkcionala, f1 i f2 , koji su zadani djelovanjem na bazi od M_2(|R) ovako:
f1(E11):=f1(E12):=1 & f1(E21):=f1(E22):=0 (to je ovaj što odgovara (1,1,0,0) ),
f2(E11):=f(E21):=-1 & f(E12)=0 & f(E22)=1 (to je ovaj od (-1,0,-1,1) ).
Ili, ako ti se tako više sviđa, možeš f1 i f2 zadati djelovanjem na općenitoj matrici
f1([a b//c d]):=a+b
f2([a b//c d]):=d-a-c .
U svakom slučaju, tipični f@M^0 je linearna kombinacija ta dva, pa je {f1,f2} skup izvodnicâ za M^0 . Lako se vidi da je nezavisan (ta dva nisu proporcionalni - jedan ovisi o b a drugi ne, drugi ovisi o d a prvi ne), pa je baza za anihilator od M .
HTH.
| filipnet (napisa): | U prostoru M2(R) zadan je skup M={
(1 -1) (-1 1) (0 0)
(0 1), (2 1), (1 1)}
Odredite neku bazu za anihilator od M. |
Ideš vidjeti kako izgleda tipični element f anihilatora od M . On mora poništavati sve tri matrice, dakle
f([1 -1//0 1])=f([-1 1//2 1])=f([0 0//1 1])=0 .
f je linearni funkcional s domenom M_2(|R) , pa je zadan svojim djelovanjem na bazi od M_2(|R) , dakle djelovanjem na E11 , E12 , E21 i E22 . Budući da matricama pridružuje realne brojeve, ovim gornjim matricama pridružuje 4 broja, a1 , a2 , a3 i a4 . No tada je
0=f([1 -1//0 1])=f(E11-E12+E22)=f(E11)-f(E12)+f(E22)=a1-a2+a4 , i isto tako
0=-a1+a2+2a3+a4 , i
0=a3+a4 .
To je linearni sustav tri jednadžbe s 4 nepoznanice, koji, kad se riješi, dobije se a4=t , a2=s (parametri), a3=-t i a1=s-t . Odnosno, naš tipični funkcional koji poništava M zadan je s uređenom četvorkom realnih brojeva (s-t,s,-t,t)=s(1,1,0,0)+t(-1,0,-1,1) . To znači, jer imamo linearnu strukturu, da je f linearna kombinacija (s koeficijentima s i t ) dvaju funkcionala, f1 i f2 , koji su zadani djelovanjem na bazi od M_2(|R) ovako:
f1(E11):=f1(E12):=1 & f1(E21):=f1(E22):=0 (to je ovaj što odgovara (1,1,0,0) ),
f2(E11):=f(E21):=-1 & f(E12)=0 & f(E22)=1 (to je ovaj od (-1,0,-1,1) ).
Ili, ako ti se tako više sviđa, možeš f1 i f2 zadati djelovanjem na općenitoj matrici
f1([a b//c d]):=a+b
f2([a b//c d]):=d-a-c .
U svakom slučaju, tipični f@M^0 je linearna kombinacija ta dva, pa je {f1,f2} skup izvodnicâ za M^0 . Lako se vidi da je nezavisan (ta dva nisu proporcionalni - jedan ovisi o b a drugi ne, drugi ovisi o d a prvi ne), pa je baza za anihilator od M .
HTH.
|
Everything happens with a reason! 
