MA2 - zadaci 4 i 5 s roka 16.2.2005

[inzagi]

evo zadataka ako mi netko moze pomoci cijenjeni vsego mi je pomogao i stoga puno mu se zahvaljujem
4.

5.a)

b)

[Gost]

Za arctg x:
Red je dosta poznat: x - x^3/3 + x^5/5-...+(-1)^k * x^(2k+1)/(2k+1)+..

(za x<1). Dobiva se obicno tako da se arctg x izrazi kao integral
funkcije 1/(1+t^2) od 0 do 1, ova funkcija se napise kao geometrijski red i onda se integrira po clanovima.

Zatim nije tesko pomnoziti gornji red s 1+x^2, dobiva se red u kojem su koeficijenti uz parne potencije jednaki 0, a uz neparne (uz alternirajuci predznak) dolaze koeficijenti 2/[(2k-1)(2k+1)]. Onda nije tesko ni izracunati trazenu 2005. derivaciju...Tako nesto. Ako postoji laksi nacin za sve ovo, ja ga ne znam.

[Gost]

Za red u 4.zadatku: mislim da konvergira, dosta jasno, dok apsolutno divergira. Naime:

cos(1/sqrt(n)) = sqrt(1 - sin(1/n)) i zato

ln(cos(1/sqrt(n)) ) = (1/2)* ln (1 - sin(1/n))

sin(1/n) < 1/n, odakle 1-sin(1/n) > 1 - 1/n = (n-1)/n

Iskoristi se ln(1-1/n) = ln(n-1) - ln n
pa kad se gledaju apsolutne vrijednosti ukidaju se logaritmi susjednih prirodnih brojeva i ostaje ln n, a to je manje od parcijalne sume za apsoutne vrijednosti i stoga te parcijalne sume majoriziraju ln n, dakle zadani red apsolutno divergira. Tako mi se barem cini...

[vjekovac]

4. zadatak
Upravo tako kako je Gost napisao dobiva se:

Za 2005. derivaciju gleda se koeficijent uz x^2005 (tj. n=1002):


5. zadatak
Red konvergira po Leibnizovom kriteriju jer se može napisati

pri čemu je

Red apsolutno divergira (tj. ne konvergira apsolutno) po usporednom kriteriju, usporedimo ga s harmonijskim redom:

[Gost]

Sorry, moja glupa greska u zadatku s apsolutnom konvergencijom reda, valjda zbog umora u sitne sate (sad se izmotavam, ocito) i brzopletosti da pokusam realizirati ocjenu pomocu ln n koja mi se nekako ucinila mogucom (ukidanje susjednih ln-ova...kriva ideja).

[vjekovac]