Lebesgueov integral

[ocajan]

Znam definiciju, no zanima me koja je razlika od Riemannovog integrala (npr.ako R-int znaci povrsinu neke funkcije u R, sto onacava L-int??), tj. koja mi je razlika ako dx, zamijenim sa derivacijom po nekoj mjeri?
A po cemu se razlikuje Lebesgueov od Lebesgeov-Stieltjesovog integrala?
Molim vas, odgovorite mi, poprilicno sam ocajan....

[vjekovac]

Pretpostavljam da nisi slušao Integral i mjeru jer bi takvo pitanje bilo neoprostivo. Možda "znaš" definiciju, ali je izgleda ne razumiješ.

Onako opisno, Lebesgueov integral se sasvim drukčije fundira. Kod Riemannovog integrala se (donji Riemannov) integral definira kao supremum donjih Darbouxovih suma pridruženih razdiobama segmenta. Kod Lebesgueovog integrala se gledaju particije segmenta (zapravo bilo kojeg izmjerivog prostora, ali nije važno) na puno općenitije izmjerive skupove (ne više samo intervalčiće) pa se gleda supremum po svim takvim izmjerivim particijama. Ovo je bilo samo opisno, da dočaram ideju, tehnički je to dosta kompliciranije.

Tako dobiveni novi integral možemo računati za familiju Lebesgue-izmjerivih funkcija koja sadrži sve Riemann-integrabilne (na segmentu), a "novi" integral se za R-integrabilne fje podudara sa "starim" Riemannovim. Zato se računanje za konkretnu funkciju provodi kao i prije (npr. Newton-Leibniz-ova formula). Prednost je u "jačoj teoriji", tj. "novi" integral ima puno bolja svojstva i puno je lakše provjeriti da je podintegrabilna funkcija (npr. u nekom dokazu) Lebesgue-izmjeriva (najčešće je to automatski) nego da je R-integrabilna.

Zaključak: Lebesgueov integral je naprosto jedna "jača teorija" integrabilnosti. Prednost joj je prvenstveno teorijske, a ne računske prirode.

Lebesgue-Stieltjesov integral je integral (opet funkcije na segmentu ili općenitije izmjerivom podskupu od R) u odnosu neku drugu L-S mjeru, umjesto Lebesgueove.
Zadana je funkcija F:R→R koja je rastuća i neprekidna zdesna. Takva funkcija inducira mjeru mi za koju vrijedi mi(<a,b])=F(b)-F(a).
U slučaju da je F npr. klase C^1, onda se L-S integral funkcije f računa po formuli .
Recimo za Lebesgueovu mjeru je F(x)=x pa ovaj član s derivacijom postaje F'(x)=1, tj. nema ga.
Ako F ima skok u točki c, onda se za svaki takav c na putu integracije integralu pridoda f(c)(F(c)-F(c-)), pri čemu F(c-) označava lijevi limes od F u c.

Ovo je sve bilo samo idejno Ako to želiš savladati moraš posuditi neku knjigu (bilo koju koja u naslovu ima mjeru ili integral) ili predavanja iz Integrala i mjere (inžinjerski smjer 3.god.).

[Gost]

Hvala puno!
p.s. jel mi mozda mozes preporuciti kakvu dobru knjigu o tome posto ja nemam Integral i mjeru kao predmet. Bio bih ti vjecno zahvalan..

[vsego]

[GauSs_]

[Edo]

Ne mogu vjerovati da se nisi sjetio da postoje i dvije izvrsne knjige na hrvatskom jeziku: S.Mardesic, Analiza 2 ; N.Antonic, M.Vrdoljak, Mjera i integral . To je jedno od rijetkih podrucja gdje zaista imamo dobre knjige ne nesem jeziku. Osim toga, te dvije knjige prokazuju dva razlicita pristupa zasnivanju Lebesgueove teorije.

[vjekovac]

Mardešićevu knjigu možda još možeš kupiti za nekih 50-ak kuna ako odeš u neku knjižaru (u zabiti) koja još nije rasprodala stara izdanja Školske knjige. Barem ja sam tako jeftino nabavio nekoliko knjiga (npr. Sarapa: TV, za 18 kn ).
Antonić-Vrdoljak se prodavala za 30 kuna i mislim da se još može kupiti u skriptarnici.

Osim spomenutih, lijepe knjige (ugodne za čitanje, a i u širem smislu korisne) su:
Cohn: Measure Theory
Folland: Real Analysis (po njoj se radi jednogodišnji kurs na postdiplomskom)
Ja nažalost imam samo neke desete kopije koje su raskupusane i već na rubu čitkosti.