funkcije operatora

[MiT]

Muci me jedan zadatak

Imamo zadani neki operator A i treba naci neki ne-nul polinom p takav da vrijedi cos(p(A))=I+(p(A))^2
Dobio sam min polinom od A m(x)=(x-2)(x-4)
Ako krenem s p(x)=a+bx i to uvrstim u trazenu jednakost i posebno za x=2 ,x=4 dobijem gadne nealgebarske jednadzbe.
Help!

Unaprijed hvala!

[vjekovac]

Pa ovdje je trik u tome da su brojevi baš dobro naštimani.
Naime, ako je to zadatak s roka 14.6., onda je minimalni polinom
m(x)=(x-2)^3.
Dakle, negdje si pogrijesio u računu.

Ako označimo
f(x)=cos(p(x))-1-p(x)^2,
onda mora biti
f(2)=0, f'(2)=0, f''(2)=0.

Kako trebamo naći bilo koji takav ne-nul polinom, možemo gledati samo realne polinome, tj. recimo da p ima realne koeficijente.

Uvjet f(2)=0 daje cos(p(2))=1+p(2)^2.
Lijeva strana je ⇐1, desna je >=1 pa mora biti p(2)=0.

f'(x)=-sin(p(x))*p'(x)-2p(x)*p'(x)
Sada je zbog p(2)=0 odmah zadovoljeno i f'(2)=0.

f''(x)=-cos(p(x))*p'(x)^2-sin(p(x))*p''(x)-2p'(x)^2-2p(x)*p''(x)
Uvrstimo li x=2 te p(2)=0, uvjet f''(2)=0 postaje
-3p'(2)^2=0 pa mora biti p'(2)=0.

Prema tomemožemo uzeti bilo koji ne-nul polinom p takav da je p(2)=0, p'(2)=0 (jer za svaki takav će vrijediti f(2)=0, f'(2)=0, f''(2)=0).
Npr. uzmemo p(x)=(x-2)^2.

-------------

Napomenimo da nam gornja analiza samo pomaže u nalaženju takvog polinoma. Mogli smo ga i pogoditi i onda samo provjeriti f(2)=0, f'(2)=0, f''(2)=0.