|
[quote="Anonymous"]Dokazite da je broj nesukladnih raznostraničnih trokuta kojima su duljine stranica cijeli brojevi, a opseg 2n, jednak broju particija od n u tri razlicita dijela.[/quote]
Neka je (a,b,c) neka particija od n u tri razlicita dijela. Dakle, a!=b!=c!=a i a+b+c=n. Pridruzimo toj particiji trojku brojeva kojima je zbroj 2n, svi su razliciti i cine duljine stranica trokuta, te dokazimo da je to pridruzivanje bijekcija.
To radimo ovako: trojci (a,b,c) pridruzimo trojku (a+b,b+c,c+a). Ocito je (a+b)+(b+c)+(c+a)=2*(a+b+c)=2n. Ocito su svi razliciti, jer kad bi bilo npr. a+b=b+c, tada bi trebalo biti a=c, sto nije. Takodjer, ocito cine stranice trokuta, jer je npr. (a+b)+(b+c)>c+a.
Dokazimo sada da je ovo preslikavanje bijekcija. Injektivnost slijedi iz cinjenice da sustav a+b=p1, b+c=p2, c+a=p3 ima jedinstveno rjesenje (a,b,c) za neku trojku parametara (p1,p2,p3) (ovo se lako vidi, slicno kao u dokazu surjektivnosti).
Surjektivnost:
Neka je dana trojka (x,y,z) koja cini duljine stranica raznostranicnog trokuta opsega 2n. Dokazimo da smo nju mogli dobiti nasim preslikavanjem iz neke trojke (a,b,c). Konkretno, definirajmo a=(x-y+z)/2, b=(x+y-z)/2, te c=(-x+y+z)/2.
Lako se pokaze da su a,b i c razliciti, te da im je zbroj stvarno n. Pokazimo jos samo da su prirodni. Pozitivni su po nejednakosti trokuta. Da je npr. a cijeli slijedi iz cinjenice da je x-y+z = x+y+z -2y = 2n-2y = 2*(n-y) djeljivo s 2.
| Anonymous (napisa): | | Dokazite da je broj nesukladnih raznostraničnih trokuta kojima su duljine stranica cijeli brojevi, a opseg 2n, jednak broju particija od n u tri razlicita dijela. |
Neka je (a,b,c) neka particija od n u tri razlicita dijela. Dakle, a!=b!=c!=a i a+b+c=n. Pridruzimo toj particiji trojku brojeva kojima je zbroj 2n, svi su razliciti i cine duljine stranica trokuta, te dokazimo da je to pridruzivanje bijekcija.
To radimo ovako: trojci (a,b,c) pridruzimo trojku (a+b,b+c,c+a). Ocito je (a+b)+(b+c)+(c+a)=2*(a+b+c)=2n. Ocito su svi razliciti, jer kad bi bilo npr. a+b=b+c, tada bi trebalo biti a=c, sto nije. Takodjer, ocito cine stranice trokuta, jer je npr. (a+b)+(b+c)>c+a.
Dokazimo sada da je ovo preslikavanje bijekcija. Injektivnost slijedi iz cinjenice da sustav a+b=p1, b+c=p2, c+a=p3 ima jedinstveno rjesenje (a,b,c) za neku trojku parametara (p1,p2,p3) (ovo se lako vidi, slicno kao u dokazu surjektivnosti).
Surjektivnost:
Neka je dana trojka (x,y,z) koja cini duljine stranica raznostranicnog trokuta opsega 2n. Dokazimo da smo nju mogli dobiti nasim preslikavanjem iz neke trojke (a,b,c). Konkretno, definirajmo a=(x-y+z)/2, b=(x+y-z)/2, te c=(-x+y+z)/2.
Lako se pokaze da su a,b i c razliciti, te da im je zbroj stvarno n. Pokazimo jos samo da su prirodni. Pozitivni su po nejednakosti trokuta. Da je npr. a cijeli slijedi iz cinjenice da je x-y+z = x+y+z -2y = 2n-2y = 2*(n-y) djeljivo s 2.
|
