Ja smislila a vi rijesite

[Tinci]

Evo, u prvom srednje malo sam se igrala s kartama i otkrila nesto vrlo zanimljivo. Ako uzmem n karata u redoslijedu nazovimo ga 1,2,3,...,n i stavim ih u desnu ruku okrenute prema gore (ako niste shvatili da to nije bitno za zadatak, nemojte ga ni pokusavati rijesiti i radim ovo: karta s vrha u lijevu ruku, iduca s vrha u lijevu ruku na vrh, iduca s vrha u lijevu na dno, iduca na vrh itd. dok ne potrosim n karata. Sada te karte imam u lijevoj ruci u nekom drugom redoslijedu. Sada se sigurno pitate sta je tu zanimljivo pa jos nista. Sada te karte prebacim opet u desnu ruku i napravim istu stvar tj. na taj nacin ih prebacim u lijevu.
Pitanje je da li ce se nakon konacno mnogo takvih koraka ponoviti isti redoslijed karata, to je lagano pitanje, no postoji jos jedno, nakon koliko?
Eto, uzmite karte u ruke i isprobajte prvih nekoliko n solucija, otkrit cete da se pravilne stvari dogadjaju za 2 na ktu karata, zasto? I moze li se uopce naci formula za bilo koji broj karata? Tko zna.

[krcko]

Svidja mi se

[tantun]

Lako se nadje pocetna permutacija tj. poredak karata nakog prvog prebacivanja, to je valjda
za n=2k: 2k 2k-2 2k-4 ... 2 1 3 5 7 ... 2k-1
za n=2k+1: 2k 2k-2 2k-4 ... 2 1 3 5 ... 2k+1

Sad bi se trebalo naci najmanji l tako da je l-ta potencija ove permutacije jednaka identiteti, a to je najmanji zajednicki visekratnik duljina disjunktnih ciklusa u rastavu ove permutacije.

No jedino sto je meni ocito iz ovoga je da je rjesenje jednako za n=2k i n=2k+1 (rastav je isti samo na kraj dodje jos jedan ciklus duljine 1, to je (2k+1) ) al to je valjda ionako trivijalno (ta je karta uvijek na dnu)...

Malo sam raspisao za prvih desetak parnih n-ova i uvijek ispadne da duljina nekog ciklusa dijeli sve ostale, tj. rjesenje je medju duljinama ciklusa...

Zbilja zanimljiv zadatak...

[krcko]

Evo i rastava na cikluse pa mozda netko uoci pravilnost:

[krcko]

[Tinci]

Evo, ja sam se ovim zadatkom bavila u prvom srednje, tada mi je i brat napisao program u C-u jer nisam mogla pronaci formulu (i to mi se nikako nije svidjalo ) pa sam pogledala prvih nekoliko rastava na cikluse. Zanimljivo je ono sto sam onda uocila, da je duljina najduljeg ciklusa uvijek visekratnik duljina svih ostalih ciklusa tj. permutacija se slozi u identitetu nakon toliko koraka koliko je duljina najduljeg ciklusa. To mi je bilo fascinantno no nisam mogla pokazati (a mozda necu moci ni sada ako pokusam ) da li je to zaista uvijek tako.
Lako je dokazati da je za 2k i 2k+1 karata ista stvar jer zadnja karta izvisi i uopce ne sudjeluje u gibanju (nemojte muciti zadnju kartu, ne dajte da bude neparna ); isto tako, mislim, koliko se sjecam, da se moze pokazati da se 2 na ktu karata slozi za k+1 poteza, nazvala bih to bisekcija, jedinica putuje u sredinu pa iz sredine na cetvrtinu pa tako dalje, zato je pravilno za 2 na ktu karata. Za ostale brojeve se dogadaju kaoticne stvari jer je 'bisekcija' 'netocna' vec stjerana u svijet prirodnih brojeva.
Jos uvijek me vrlo zanima to pojavljivanje ciklusa tj. da je visekratnik duljina ciklusa ujedno i duljina najduljeg ciklusa, zasto se to dogadja? Hm, morat cu se opet malo pozabaviti ovim zadatkom (sad sam ipak iskusnija nego onda).

Uglavnom, jako mi se svidja sto se Vama/tebi (odabrati po zelji) svidja, Krcko. Pitanje: Tko je W.W. Rouse Ball? I tko je Neil Sloane, the man who knows the answer?

[krcko]

[vjekovac]

[Gost]

Hm, mislim da je krivo, tj. nepotpuno. Matematicar se treba kloniti potrebe da vjeruje da vrijede stvari koje mu pasu da vrijede ali eto, i matematicar je covjek (ma koliko ne djelovao tako )


1 2 ... n-1 n n+1 n+2 ... 2n-1 2n
2 4 ... 2n-2 2n 2n-1 2n-3 ... 3 1

Ok, prenumerirali smo karte obrnuto i uzeli inverznu permutaciju, to je ok. Tako smo umjesto da 1 ide u sredinu pa na cetvrtinu itd. dobili da 1 ide u 2 pa u 4 tj. umjesto dijeljenja, mnozenje. Super.

Sada, imamo S={1,2,...,2n} podskup grupe ostataka pri dijeljenju sa 4n+1 i ocito je da nasa permutacija prvu polovicu podskupa S mnozi s 2 a drugu s -2.

Neka je sada d(t) duljina ciklusa koji sadrzi t, tj. tek nakon d(t) koraka permutacija ce od t napraviti t. Tokom toga ona ce u svakom koraku birati da li da mnozi s 2 ili -2 ovisno o tome gdje se argument nalazi (a argument sece po S i pusi cigaru ili zvace sir).
Dakle, mozemo zakljuciti da 2 na d(t) pomnozeno s t daje ILI t ILI -t (naravno, gledano u toj grupi). Postoje dvije mogucnosti!

Neka je sada a(t) najmanji takav da 2 na a(t) pomnozeno s t daje t i
b(t) najmanji takav da 2 na b(t) pomnozeno s t daje -t.

Jasno je da je d(t) jednako ili a(t) ili b(t), ali ne znamo koji je!

Sada imamo (lako se pokaze, vidi gore ili probaj sam) da je u grupi ostataka pri dijeljenju s (4n+1)/nzm(4n+1,t)
2 na a(1) jednako 1
2 na a(t) jednako 1
i analogno
2 na b(1) jednako -1
2 na b(t) jednako -1

Iz toga se moze jedino pokazati da min{a(t),b(t)} dijeli i a(1) i b(1) kada se raspise kao u prethodnom postu.

Dakle, min{a(t),b(t)} dijeli d(1).

E sad, cini mi se da si propustio dokazati to da je d(t)=min{a(t),b(t)}.

Kad bi to bilo dokazano imali bi da d(t) dijeli d(1) tj. red nase permutacije bi dokazano bio d(1).
Takodjer bi dobili i formulu da je d(t) najmanji takav da 2 na d(t) pomnozeno s t daje t ili -t. Iz toga onda ide formula da je trazeni broj koraka tj. d(1) najmanji k takav da 2 na ktu daje ostatak 1 ili -1 pri dijeljenju s 4n+1.

No, to jos nije dokazano.
Trebas jos pokazati da je d(t)=min{a(t),b(t)}. A kako? Cini mi se da je to najtezi dio.

[Tinci]

Eh, to 'automatsko loginiranje' koje se se samo pravi da je automatsko loginiranje. Sta ces, forumas pocetnik.

Dakle, htjedoh reci da je onaj sad_je_ispao_kukavicki_gost_koji_kritizira zapravo (ta daaa) autor zadatka.

I pogledala sam onu stranicu, Krcko, pa se cini da ima vise autora (bas fora wow!) ali samo jedan je ziv pa se zna na koga mislim gore.

Pusica

[Tinci]

E da, Krcko, mozda i jesam bila W.W. Rouse Ball u proslom zivotu jer osjecam slatku nostalgiju kad slusam Edith Piaf i volim sve neke umjetnike s prijelaza stoljeca i nesto kasnije, da, da, pa i znanstvenike iz tog doba, Feynman mi je super, taj tip je bio prava faca (citat: "Physics is to math what sex is to masturbation." ).

(malo sam googlala)

W.W. Rouse Ball
1850-1925

Richard Feynman
Date of Birth: 11 May 1918
Died: 15 Feb 1988

Edith Piaf
Born: 19 December 1915

Paul Klee
Born: Bern 1879
Died: Muralto-Lucarno 1940

Freud
born on May 6, 1856
died on September 23, 1939

Dali
born in 1904
died in 1950

Einstein
born 1879
died 1955

Kandinsky
Born 1866, Moscow
died 1944, Neuilly-sur-Seine

Kundera
Born: 1929-04-01

Ok, priznajem da se bas Piaf i Feynman ne uklapaju (pa ni Kundera, on je jos ziv), jedino mozda ako je ovaj odglumio smrt jer su ga previse davili pa je poludio i odselio se u Pariz A i bilo bi malo previse isti zadatak distribuirati bas u svakom zivotu, ha ha, pa nije tako dobar a i 'Hey, man get some new ideas!' ha ha

He he, ajm so hepi nau, bas se dobro zabavljam sama sa sobom.
Baj baj

[Tinci]

Kako je meni sad super sto ste vi tako razigrani; da vam netko zadatak i odmah se ukucava kod u mathematicu, gleda se problem, okrece sa svih strana, pisu se rjesenja; sad sam se bas raznjezila Super ste, decki

[krcko]

[Tinci]

E pa daj, pa bas je super taj Feynman, dobra je fora a i bio je fizicar pa nije ni mogao reci drugacije. Zvali su ga The Great Explainer i bio je, cak u ono doba potpuno slobodan reci tako nesto tj. koristiti pravi a ne fifi ups fini jezik, a i lijecili su ga od raka i onda kad se opet godinama poslije razbolio odlucio je da mu se to vise ne da, ic na te terapije, da zeli umrijeti dostojanstveno i zadnje rijeci su mu bile 'This dying is boring.' ha ha. Pogledaj si u Wikipediu, ako hoces, meni je Feynman bas blizu srcu nekako.

A sto, nista ne komentiras zajednicke napore vjekovca i mene, a znam, ne da ti se, kad ulovis malo vremena...

[Tinci]

E da, ne radim matiku, zabavljam se pa ponekad uleti nesto zabavno a ujedno matematika Opa!
Inace, ja sam ti sada bolesna pa sam ja jedna od onih blazenih (Onih s Izgovorom)

[Tinci]

Evo, da te malo zavede Feynman, kao mene...

"Dear Mrs. Chown, Ignore your son's attempts to teach you physics. Physics isn't the most important thing. Love is. Best wishes, Richard Feynman."

"Physics is to math what sex is to masturbation."

"Physics is like sex: sure, it may give some practical results, but that's not why we do it."

"Mathematics is not real, but it feels real. Where is this place?"

"When you are solving a problem, don't worry. Now, after you have solved the problem, then that's the time to worry."

"The wonderful thing about science is that it's alive."

"All fundamental processes are reversible."

"What does it mean, to understand? ... I don't know."

"What I cannot create, I do not understand."

"But I don't have to know an answer. I don't feel frightened by not knowing things, by being lost in the mysterious universe without having any purpose—which is the way it really is, as far as I can tell, possibly. It doesn't frighten me."

"To those who do not know mathematics it is difficult to get across a real feeling as to the beauty, the deepest beauty, of nature ... If you want to learn about nature, to appreciate nature, it is necessary to understand the language that she speaks in."

Ha? Sta nije odlican? Je, je Tinci lavz Feynman

[Tinci]

Jel' kuzis da nije nista lose mislio s "Physics is to math what sex is to masturbation."? Pa to je totalna istina.
Ja cu ti na to reci ovo: "Don't underestimate masturbation."
Uvrijedjenko. Ponositi matematicaru. Nece tebi neki fizicar...

[vjekovac]

Pa ti si stvarno hiperaktivna!
4 uzastopna posta na istom topicu...

[Tinci]

Aaaaaa, nakon m primjena permutacije na broju t€{1,...,2n} dobivamo ili ostatak t*2^m ili ostatak -t*2^m, ovisno o tome koji od njih je u skupu {1,...,2n} (jer je točno jedan od njih u {1,...,2n}, a drugi u {-2n,...,-1}).
Dakle, uvijek postoji samo jedna mogućnost! Pa da!

Super!

Faco!

Iiiiiiiihaaaa! Divno, bas je dobar. Svidja mi se. Ajm veri veri hepi rajt nau.

Ej, Vjekovac, ako znas odmah odgovor na onaj moj drugi post o zatvoreniku, pricekaj malo da ljudi razmisle, to je dobro za njih, nemoj im odmah dati rjesenje, pokusaj, pokusaj se suzdrzati

Faco. [/quote]

[vjekovac]