|
Uh, nije tesko, samo dosadno za raspisivati...
1. Vektori su kolinearni, odnosno komplanarni, prema tome ima li matrica ciji su to retci ili stupci rang 1 ili 2 (to se moze prepricati na razne nacine, no prakticki se svodi na rang).
a 1 1
a b 1
1 1 a
Ocito ce rang biti 1 samo za a=b=1. Rang je 2 ako je a=-1 i ako je jedan od a i b jednak 1, a drugi razlicit od 1. Moze i pomocu determinante: vektori su komplanarni ako je determinanta jednaka 0, a onda se lako diskutiraju pojedini slucajevi, dakle i kolinearnost.
2. Zadana matrica u bazi {a,b} znaci da T djeluje ovako:
T(a) = 4a + b, T(b) = -2a + b.
Treba izracunati T(i) i T(j). Opcenito postoji formula za matricu operatora kod promjene baza, ali cini mi se da se ovdje ne cilja na to pa ostavimo za malo kasnije.
Naime, i, j mozemo lako izraziti pomocu a i b.
i = a+b, j = -a - 2b. Zbog linearnosti T je onda
i
T(i) = T(a) + T(b), T(j) = -T(a) -2 T(b).
T(i) = 2a + 2b = 2i.
T(j) = -3b = 3i + 3j.
Zato u bazi (i,j) T ima matricu:
2 3
0 3
(b) Uvjet T(v) = 2v (pripazi da zvjezdica koja bi oznacavala mnozenje nema isti smisao na obje strane, onako kako si napisao u zadatku!)
kad se primijeni operator na nepoznati vektor v = xi + yj daje:
2x + 3y = 2x
3y = 2y.
Zato je y = 0, dok x moze biti bilo koji skalar, ali iz uvjeta da je vektor jedinicni slijedi da je x = 1 ili -1.
(Tu se zapravo traze svojstveni vektori za svojstvenu vrijednost 2).
Napomena o matrici operatora: Matrice u razlicitim bazama su slicne pa je veza oblika B = T^(-1) A T, pri cemu je T matrica prijelaza izmedju baza. Detalji se rade u Linearnoj algebri 2, no cini mi se da ovdje nije poanta u tom opcenitom znanju nego u snalazenju u V2 i V3.
Uh, nije tesko, samo dosadno za raspisivati...
1. Vektori su kolinearni, odnosno komplanarni, prema tome ima li matrica ciji su to retci ili stupci rang 1 ili 2 (to se moze prepricati na razne nacine, no prakticki se svodi na rang).
a 1 1
a b 1
1 1 a
Ocito ce rang biti 1 samo za a=b=1. Rang je 2 ako je a=-1 i ako je jedan od a i b jednak 1, a drugi razlicit od 1. Moze i pomocu determinante: vektori su komplanarni ako je determinanta jednaka 0, a onda se lako diskutiraju pojedini slucajevi, dakle i kolinearnost.
2. Zadana matrica u bazi {a,b} znaci da T djeluje ovako:
T(a) = 4a + b, T(b) = -2a + b.
Treba izracunati T(i) i T(j). Opcenito postoji formula za matricu operatora kod promjene baza, ali cini mi se da se ovdje ne cilja na to pa ostavimo za malo kasnije.
Naime, i, j mozemo lako izraziti pomocu a i b.
i = a+b, j = -a - 2b. Zbog linearnosti T je onda
i
T(i) = T(a) + T(b), T(j) = -T(a) -2 T(b).
T(i) = 2a + 2b = 2i.
T(j) = -3b = 3i + 3j.
Zato u bazi (i,j) T ima matricu:
2 3
0 3
(b) Uvjet T(v) = 2v (pripazi da zvjezdica koja bi oznacavala mnozenje nema isti smisao na obje strane, onako kako si napisao u zadatku!)
kad se primijeni operator na nepoznati vektor v = xi + yj daje:
2x + 3y = 2x
3y = 2y.
Zato je y = 0, dok x moze biti bilo koji skalar, ali iz uvjeta da je vektor jedinicni slijedi da je x = 1 ili -1.
(Tu se zapravo traze svojstveni vektori za svojstvenu vrijednost 2).
Napomena o matrici operatora: Matrice u razlicitim bazama su slicne pa je veza oblika B = T^(-1) A T, pri cemu je T matrica prijelaza izmedju baza. Detalji se rade u Linearnoj algebri 2, no cini mi se da ovdje nije poanta u tom opcenitom znanju nego u snalazenju u V2 i V3.
|
