Pomoć oko Jensenove nejednakosti!?

[Incognito]

Teorem glasi: "Ako je f neprekidna i konveksna funkcija na intervalu I podskup od R, onda vrijedi

(za svaki x_1 i x_2 iz I), (za svaki t iz [0,1]), f((1-t)x_1+tx_2)⇐(1-t)f(x_1)+tf(x_2). ............(1.29)

Ako jednakost u (1.29) vrijedi za neko t iz <0,1>, onda jednakost vrijedi za svaki t iz [0,1]."

Dokaz glasi: "Za bilo koje x_1, x_2 iz I definirajmo neprekidnu funkciju g sa [0,1] u R s

g(t)=f((1-t)x_1+tx_2)-(1-t)f(x_1)-tf(x_2), za svaki t iz [0,1]. .................................................(1.30)

Želimo dokazati da je g(t)⇐0, za svaki t iz [0,1]. Pretpostavimo suprotno, tj. neka g postiže svoj maksimum u točki c i neka je g(c)>0. Zbog g(0)=g(1)=0 je c iz <0,1>. Neka je d(op.a. delta)=min{c,1-c}, tj. segmenti [c-d,c+d] i [0,1] imaju barem jedan zajednički rub. Sada

g(c)=g(((c-d)+(c+d))/2)⇐(g(c-d)+g(c+d))/2. .......................................................................(1.31)

Budući da je g(c-d)=0 ili g(c+d)=0, to je desna strana od (1.31) strogo manja od g(c), što je kontradikcija s činjenicom da je g(c)>0 maksimum. Dakle, vrijedi g(t)⇐0, za svaki t iz [0,1].

Ako je g(c)=0 za neko c iz <0,1>, onda za izbor d>0 takav da vrijedi [c-d,c+d] podskup od [0,1], iz (1.31) slijedi g(c-d)+g(c+d)=0. Zbog g(c-d)⇐0 i g(c+d)⇐0, to povlači g(c-d)=0 i g(c+d)=0. Iz toga slijedi da je g(t)=0, za svaki t iz [0,1], tj. jednakost u (1.29) tada vrijedi za svako t iz [0,1]. Q.E.D."

Meni nije jasno glasi: "Zašto je 'Budući da je g(c-d)=0 ili g(c+d)=0, to je desna strana od (1.31) strogo manja od g(c),...'? Od kud to slijedi? I kod ovoga 'Ako je g(c)=0 za neko c iz <0,1>, onda za izbor d>0 takav da vrijedi [c-d,c+d] podskup od [0,1], iz (1.31) slijedi g(c-d)+g(c+d)=0.' Zašto to slijedi?"

Zahvala glasi: "Hvala na svakoj pomoći!"

[goc9999]

to sam i ja pitao prof guljasa i rekao je da je to zato sto smo razvukli interval [c-d,c+d] tako da stane u rubove od [0,1]! pa je to zapravo isto!!

_________________
10100111001

[Incognito]

Hvala goc! Ali moram priznati da mi još uvijek nije jasno. Ima li netko neku ideju?

[goc9999]

gle c€<0,1> a g(c-d)=0 ili g(c+d)=0 zato sto smo rastegli interval [c-d,c+d] do [0,1] i onda je ili g(c-d)=0 ili g(c+d)=0!!

_________________
10100111001

[Tonci]

d smo odabrali tako da je interval [c-d,c+d] zapravo ili interval [0,c] ili interval [c,1], (tocnije, onaj od ta dva koji je manji). dakle, ili je c-d=0 ili j c+d=1, a kako je g(0)=g(1)=0, to je ili g(c-d)=0 ili g(c+d)=0.

1.31 kaze da je g(c)⇐(g(c-d)+g(c+d))/2, medjutim g(c-d)+g(c+d) je ili jednako g(c-d) ili jednako g(c+d) (jer je jedan jednak nuli, onda je izraz jednak onom drugom). dakle, g(c)⇐g(c+-d)/2 (ili + ili -). medjutim, g(c+-d)⇐g(c) (jer je g(c) maksimum), pa je g(c+-d)/2 ⇐ g(c)/2.

Dakle, imamo g(c) ⇐ g(c)/2, odnosno g(c)⇐0, sto je kontradikcija.

[Incognito]

Super, hvala! To sam skužio. Ali ono moje drugo pitanje mi još uvijek nije jasno. Onaj zadnji dio dokaza.

[Incognito]

Sve sam skužio! hvala