Teorem o podu i stropu

[Gost]

Spomenuti teorem se radi na Konkretnoj 1 koja nema svoj forum, a radi se o funkcijama pod i strop (tj. najveće i najmanje cijelo) pa nekako mi se čine da bi one spadale pod elementarnu matematiku.

Naime, u dokazu teorema pojavljuje se tvrdnja da je nejednakost

strop( f(x) ) < strop( f(strop(x)) )

ekvivalentna sljedećoj

strop( f(x) ) < f(strop(x))

i to je dano kao očito, što meni baš i nije.

Bio bih zahvalan na svakoj pomoći u dokazu te ekvivalencije

[vsego]

Nekako mi se cini da to ne vrijedi bas za svaku funkciju f(x). Pomoglo bi da napises sto tocno teorem kaze i da skiciras pocetak dokaza, jer ti onda mogu pomoci i oni koji se ne bave Konkretnom matematikom bas sada. Recimo, ja sam ju polozio prije cca 6-7 godina.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Gost]

Teorem kaže:

Neka je f realna monotono rastuća neprekidna f-ja na skupu realnih brojeva takva da ako je f(x) cijeli broj onda je i x cijeli broj.
Tada strop( f(strop(x)) )=strop( f(x) )

Dokaz:

Ako je x=strop(x) tvrdnja vrijedi
Inače: x<strop(x), a jer je f monotono rastuća sljedi f(x) <= f(strop(x))

Sad, ako je f(x)= f(strop(x)) onda tm vrijedi
inače f(x) < f(strop(x))

Kako je strop monotono rastuća funkcija primjenimo je na zadnju nejednakost i dobivamo

strop( f(x) ) <= strop( f(strop(x)) )

opet se vidi da ako je = onda tm vrijedi a inače je:

strop( f(x) ) < strop( f(strop(x)) )

Sad se kaže da je to ekvivalentno (???) sa

strop( f(x) ) < f(strop(x)) (*)

Kako je očito f(x)<strop(f(x)) iz toga i (*) te neprekidnosti f-je f
zaključuje se kako postoji c takav da je f(c)=strop(f(x)). (jer nep. f-ja poprima sve međuvrijednosti)

no kako je onda f(c) cijeli broj, po pretpostavci tm je i c cijeli broj i vrijedi

x < c < strop(x), a to je kontradikcija sa definicijom f-je strop.

Ako netko vidi dokaz ekvivalencije, ili teorema bez korištenja iste, bio bih jako zahvalan

[vsego]