|
a=(2,-2,-1,-1)
b=(2, 0,−1, 1)
c=(1, 0,−2,−2)
d=(1, 2,−2,0)
M+L=[{a,b,c,d}], ali taj skup čiju ljusku promatramo ne mora biti nezavisan. Ako bismo računali rang matrice čiji su stupci vektori a,b,c,d
dobili bismo rang 3. Dakle, da bi skup bio nezavisan treba izbaciti 1
vektor. Skup {a,b,c} je nezavisan (ostavljeno čitatelju za vježbu :D ) pa
je onda traženi vektor, vektor d (jer je dim[{a,b,c}]=dim[{a,b,c,d}]=3).
Znači, baza za M+L je skup {a,b,c}.
Iz dim(M)+dim(L)=dim(M+L)+dim(M(presjek)L) znamo da će dimenzija presjeka ta dva prostora biti 1. Ako se neki vektor x nalazi u presjeku tada se on nalazi u M pa se može zapisati kao linearna kombinacija vektora a i b, ali se isto tako nalazi u L pa se može zapisati kao lin. kombinacija od c i d.
x=pa+rb (1)
x=sc+td (2)
(p,r,s,t su skalari koje tražimo)
Riješimo sustav
pa+rb-sc-td=0
(naravno, očekujemo jednoparametarsko rješenje zbog dim(M(presjek)L)=1).
Ja sam kao rješenje dobio
p=-k,r=s=t=k, k element iz R.
Koji god k odaberemo i uvrstimo u (1) ili (2) dobit ćemo neki vektor iz
M(presjek)L pa kako je taj prostor jednodimenzionalan taj vektor će
činiti bazu za M(presjek)L, npr. uzme se k=1 pa je baza za M(presjek)L
skup {(0,2,0,2)}.
Tražimo direktni komplement od M...
Bazi za M dodamo vektore standardne kanonske baze za R4
e1=(1,0,0,0), e2=... pa se dobije skup
{a,b,e1,e2,e3,e4}.
Iz skupa izbacimo 2 od 4 dodana vektora tako da on postane nezavisan, tj. baza za R4. Lako se provjeri da je skup
{a,b,e1,e2}
nezavisan, znači dovoljno je izbaciti e3 i e4. Skup {e1,e2} je onda baza za direktni komplement od M. Isto tako mogli smo izbaciti i vektore e1 i e4, skup {a,b,e2,e3} je također nezavisan pa bi imali da je {e2,e3} baza za direktni komplement od M.
a=(2,-2,-1,-1)
b=(2, 0,−1, 1)
c=(1, 0,−2,−2)
d=(1, 2,−2,0)
M+L=[{a,b,c,d}], ali taj skup čiju ljusku promatramo ne mora biti nezavisan. Ako bismo računali rang matrice čiji su stupci vektori a,b,c,d
dobili bismo rang 3. Dakle, da bi skup bio nezavisan treba izbaciti 1
vektor. Skup {a,b,c} je nezavisan (ostavljeno čitatelju za vježbu  ) pa
je onda traženi vektor, vektor d (jer je dim[{a,b,c}]=dim[{a,b,c,d}]=3).
Znači, baza za M+L je skup {a,b,c}.
Iz dim(M)+dim(L)=dim(M+L)+dim(M(presjek)L) znamo da će dimenzija presjeka ta dva prostora biti 1. Ako se neki vektor x nalazi u presjeku tada se on nalazi u M pa se može zapisati kao linearna kombinacija vektora a i b, ali se isto tako nalazi u L pa se može zapisati kao lin. kombinacija od c i d.
x=pa+rb (1)
x=sc+td (2)
(p,r,s,t su skalari koje tražimo)
Riješimo sustav
pa+rb-sc-td=0
(naravno, očekujemo jednoparametarsko rješenje zbog dim(M(presjek)L)=1).
Ja sam kao rješenje dobio
p=-k,r=s=t=k, k element iz R.
Koji god k odaberemo i uvrstimo u (1) ili (2) dobit ćemo neki vektor iz
M(presjek)L pa kako je taj prostor jednodimenzionalan taj vektor će
činiti bazu za M(presjek)L, npr. uzme se k=1 pa je baza za M(presjek)L
skup {(0,2,0,2)}.
Tražimo direktni komplement od M...
Bazi za M dodamo vektore standardne kanonske baze za R4
e1=(1,0,0,0), e2=... pa se dobije skup
{a,b,e1,e2,e3,e4}.
Iz skupa izbacimo 2 od 4 dodana vektora tako da on postane nezavisan, tj. baza za R4. Lako se provjeri da je skup
{a,b,e1,e2}
nezavisan, znači dovoljno je izbaciti e3 i e4. Skup {e1,e2} je onda baza za direktni komplement od M. Isto tako mogli smo izbaciti i vektore e1 i e4, skup {a,b,e2,e3} je također nezavisan pa bi imali da je {e2,e3} baza za direktni komplement od M.
|
