zadatak iz el2 sa zadnjeg pismenog

[aenima]

Iz težišta pravokutnog trokuta površine P spuštene su okomice na sve tri strane. Nožišta tih okomica su vrhovi novog trokuta površine Q. Odredite omjer P:Q.

[Gost]

P:Q = 9:2.
Mozda ima elegantnije rjesenje, ali evo:
Oznacimo duljine okomica iz tezista na stranice a,b,c redom s u,v,w.
Povrsinu Q mozemo izraziti kao zbroj tri trokuta sa stranicama u, v
(pravi kut medju njima), u,w (kut 180-alfa) i v,w (kut 180-beta).
Zato je 2Q = uv + uwa/c + vwb/c (jer sin(180-alfa) = sin alfa = a/c itd).

Iz slicnosti lako vidimo: u=a/3, v=b/3, w= h/3 (h je visina na hipotenuzu) pa je w = ab/(3c).

Sad uvrstavanjem ispada 2Q = 2ab/9 = 4P/9.
Ako nisam ispustio neki faktor negdje...