3 zadatka sa istog roka

[Gost]

imam po pitanje za tri zadatka iz roka 7.9.2005.

1.zad.

f(x)=x^2*exp(x)*sh(x), x iz (0,2)
Treba dokazati da niz polinoma na Cebisevljevoj mrezi uniformno konvergira.

Mislila sam to dokazati pomocu TM o sendvicu, kao sto je i standarno za takve zadatke. Jedini problem mi predstavlja derivacija n-tog reda. Dobila sam da je svaka derivacija (n-tog reda) oblika
A*exp(x)*[sh(x)+ch(x)] + B*x*exp(x)*[sh(x)+ch(x)] + C*x^2*exp(x)*[sh(x)+ch(x)]
te da je (n+1) derivacija sa koeficijentima
A'=2A+B, B'=2B+C, C'=2C, uz pocetne vrijednosti (za n=3, trecu derivaciju) A=6,B=12,C=4.

Lako je odrediti da je C=2^n, dok s ostalim imam problema.
Zanima me dal mi je to tocno, tj. kako dalje.
Hvala


3.zadatak

Newtonovom metodom pronadite sva realna rjesenja uz e=0.001
sh(ln(|x|)-x)=cos(x)
Kod ovog zadatka imam problema sa odredivanjem intervala monotonosti funkcije, sto je zapravo problem iz analize.

Hvala za pomoc


4.zadatak

Nekom num.metodom uz e=0.0001 izracunajte integral sa granicama (0,2*PI) f(x)dx, gdje je f(x)=min{|cos(4x)|,|sin(8x)|}

Gledajuci formule za produljenu trapeznu ili simpsonovu formulu, zakljucila sam a=0,b=2*PI,e=0.0001.
sve znam osim n, za koji mi treba M2(f), tj maksimum druge derivacije.
rastavivsi funkciju f(x) na 4 periodicna dijela [0,PI/2], [PI/2,PI], [PI,3PI/2], [3PI/2,2PI], dobivam 4 ista integrala.

Za M2(f) dobivam max u tocci PI/24 koji iznosi 32*sqrt(3).
Kad to sve skupa spojim, u najboljem slucaju dobijem...previse tocaka (preko 100) u kojima bi morala izracunati f(x).
Molim pomoc


Evo toliko, bas me muci taj rok

[Ilja]

1. zad primijetite da je


Sada lako pomocu Leibnizove formule dobijete n-tu derivaciju, s time što drugi član iščezava za n>2 (pa taj član nema utjecaja obzirom na konvergenciju) i dalje klasicno.

3. zad Stavimo
Prvo pogledajmo slucaj za .
Na tom podrucju jednadzba nema rjesejna buduci je akko je i u toj tocki postize globalni maksimum s . Dakle je . Kako je , dobivamo tvrdnju.

Na podrucju funkcija je strogo padajuća , , buduci je

,
.
Dakle, ukoliko nultocka od postoji, ona je nuzno jedinstvena. Kako je i buduci je neprekidna, iz Bolzano-Weierstrassovog teorema slijedi da nultocka postoji i da se nalazi unutar segmenta .
I dalje klasicno Newtonovom metodom (jedino sto ce mozda zbog brzne promjena prve i druge derivcije biti potrebno suziti pocetni interval).

4. zad Oznacimo s trazeni integral. Napravite supstituciju , koristeci periodicnost podintegralne funkcije i kada rastavite po maksimalnosti dobijete
.

Sada su podintegralne funkcije klase , pa možemo svaki od ova dva integrala izracunati pomocu produlje Simpsonove formule i to s tocnoscu . Valjda se dobije neki normalan broj cvorova.

[Gost]

Puno hvala. Pomogli ste mi.