Teorijska pitanja (vise njih) (objasnjenje gradiva)

[HijenA]

imam jedno pitanje, sa pocetka gradiva.

dakle, prvi teorem u knjizi prof. Ungara:

Teorem 1.1: neka je zatvoren neprazan skup koji je omedjen odozdo. Tada je , tj. skup A ima minimum. Analogno, ukoliko je A omedjen odozgo, onda je , tj. A ima maksimum.

Dokaz:
pretpostavimo da . tada takav da je .

i sad me tu jedna stvar muci: skripta navodi da je broj (koja je donja medja od A) bila veca od inf A koji je najveca donja medja, sto je u suprotnosti sa definicijom infimuma kao najvece donje medje.

meni sad nije jedna stvar jasna. sta ne bi trebali svi brojevi koji su veci od inf A automatski otpadati? a ne samo taj ?

zahvaljujem.

PS. ocekujte jos pitanja od mene sto se tice gradiva MA3. budem sve postao ovdje, da nemamo 150 topica o istoj stvari


HijenA: thanx, vsego

_________________
Chuck Norris can divide by zero.

[vsego]

[HijenA]

[vsego]

[HijenA]

[kreso]

imam i ja jedno pitanjce
zasto niz xk=1/k k E N u prostoru X=<0,2> podskup od Rn ne konvergira a istodobno je cauchyjev?

jel to samo zato sto mu 0 nije u prostoru X ili

hvala

[mance]

[kreso]

a jel niz onda ima limes u 0 iako se nalazi u prostoru <0,2>, tj. taj limes idalje postoji?
zbujuje me to sto je receno da limes nemora biti e X, bar kod limesa funkcija... ili sam ja totalno pobrko stvari

[vsego]

Evo ti slican primjer: jednadzba ima rjesenje, ali ne u

Slicno, ovaj niz ima limes u , ali ne i u .

Jasnije?

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[ne daj se Ilja]

[kreso]

hvala, jasnije!

[Unnamed One]

Imam jedno pitanje o teoremu o zamjeni varijabli...

Označimo sa §S rub skupa S.

Ako je f-ja f : U -> f(U) difeomorfizam, U otvoren podskup od R^2 tada za J - izmjeriv skup S sadržan u U vrijedi da je §(f(S))=f(§(S)).

Uglavnom, to je argument koji se koristi u knjizi prof. Ungara "Matematička analiza 3" kod dokaza teorema o zamjeni varijabli na strani 180 (internet verzija skripte) prilikom dokazivanja Leme 20.2.. Pitanje je zašto uz gornje pretpostavke vrijedi jednakost §(f(S))=f(§(S))? Kod izricanja te jednakosti piše samo da je to zato što je f difeomorfizam, ali mi taj argument nije baš jasan.

//sa f sam označavao f-ju koja je u skripti označena grčkim slovom [fi]

[vili]

Ok, mislim da bi ovako nešto najbolje tu spadalo:

Zašto je kompozicija dviju funkcija klase C^k funkcija klase C^k?
(122.str skripte, Taylorov tm. srednje vrijednosti)

Jel se to može nekako induktivno pokazati s obzirom da je kompozicija dviju dfb f-ja opet diferencijabilna, i dviju neprekidnih neprekidna? (to mi se čini ružno s obzirom da se počinje zapetljavat...)
Zapravo, ja tražim neko ljepše rješenje
zezam se, anything will do...

Unaprijed hvala!

[Unnamed One]

f-ja je klase C^n ako i samo ako su joj parcijalne derivacije C^n-1. Ako uzmemo kompoziciju h=f°g gdje su f i g C^n onda parcijalnu derivaciju neke komponente od h odredimo prema formuli (3) na str. 81. (pretpostavljam da imaš skriptu ).

Dakle, ako dokažemo da je zbroj i produkt dvaju f-ja klase C^n opet f-ja klase C^n onda smo dokazali tvoju tvrdnju. Mislim da je C^n vektorski prostor pa smo dokazali da to vrijedi za zbroj. Parcijalna derivacija produkta dvaju f-ja je nekakva linearna kombinacija parcijalnih derivacija (str. 77) prve i druge f-je pa bi zbog toga i produkt f-ja klase C^n trebao biti f-ja klase C^n.

Nadam se da je to dobro (lijepo) obrazloženje...

[vili]

Hm, ovaj dio za produkt mi malo šteka. To što dobiješ sa str 77., možda se sad tu nabaci neka indukcija al mnogo mi je mutno to.. Mislim da bi indukcijom (iliti raspisivanjem) mogao dobiti da su parc der n-1 puta direrencijabilne ali ne i da su klase C^n-1
A možda i ne, nisam baš danas više sposoban razmišljati
(i hvala na odgovoru )

[Unnamed One]

Imaš pravo, malo šteka. Na formuli ( str.77.) sam f(p) i g(p) promatrao kao fiksne skalare što oni baš i nisu...

Uglavnom, iz te formule (77) bi se indukcijom dalo dokazati da je produkt dvije C^n f-je opet C^n f-ja. Neka tvrdnja vrijedi za n-1 i onda kod koraka indukcije u formuli množim parcijalne derivacije koje su C^n-1 sa f-jama koje su C^n pa onda specijalno i C^n-1 pa se iskoristi pretpostavka... Mislim da bi ovo trebalo biti ipak malo ispravnije od onog što sam sinoć napisao.

[C]

Pozdrav!

Zna li netko mozda zasto se u Teoremu 1.1.6 (skripta prof. Ungara)posebno dokazuje da c!=a i c!=b - nije li i taj slucaj pokupljen u drugom (preostalom )dijelu dokaza?

Takodjer, postoji li neki ocit nacin da se rijesi primjer 1.1.4 (odmah na slijedecoj strani)?

Thnx

[Unnamed One]

@C
Taj slučaj je, otprilike, manje više pokupljen u drugom dijelu dokaza, ali ne baš sasvim korektno. Naime, rekli smo

c:=inf(V).

"Stoga, kada bi bilo c element iz V onda bi postojao r>0 takav da je
<c-r,c+r> sadržan u V, pa bi infimum skupa V bio manji od c."

Prethodna tvrdnja je prepisana iz skripte i ona ne vrijedi općenito.
Problem je u tome da mogu uzeti

V={b}

pa je c=b, pa za svaki r>0 <c-r,c+r> siječe komplement od [a,b], tj. ne
mora postojati r>0 za kojeg vrijedi ta tvrdnja. Tvrdnja vrijedi ako znamo da c nije iz ruba od [a,b], tj. c!=b pa smo si zato prethodno dokazali c!=b. Iz sličnog razloga je prvo dokazano i c!=a.


primjer 1.4.
Pokazali smo da je otvoren skup u R^n povezan ako i samo ako je povezan putevima. Skup W iz primjera je zatvoren (zatvoren je jer mu je
komplement otvoren - ako uzmem neku točku iz komplementa onda postoji i nekakva kugla oko te točke koja je disjunktna sa W) pa je možda moguće da je povezan i nije povezan putevima.

Pretpostavimo da je W nepovezan i neka je

W=A u B

gdje su A,B disjunktni, otvoreni, neprazni. Neka je P=(1,sin(1)) sadržano u B. Tada postoji neprekidna surjekcija (Tm 2.14.)

f : W → {0,1}.

Neka je bso f(1,sin(1))=1.

Neka postoji x>0 t.d. f(x,sin(x))=0. Uzmimo najveći takav x. Onda za svaki r>0 K((x,sin(x)),r) siječe B pa f nije neprekidna. Kontradikcija. Uzmimo da ne postoji najveći x t.d. je f(x,sin(x))=0. Onda sigurno postoji najmanji y takav da je f(y,sin(y))=1 (kada ne bi postojao segment bi bio nepovezan). Onda za svaki r>0 K((y,sin(y)),r) siječe A, tj. f nije neprekidna. Dakle f(x,sin(x))=1 za svaki x>0.

Neka je f(0,0)=0. Za svaki r>0 K((0,0),r) siječe B pa f nije neprekidna. Dakle f(0,0)=1.

Sada očito segment {(0,y) | -1⇐y⇐1} nije čitav sadržan niti u A niti u B (da je čitav sadržan u B onda bi A bio prazan). Neka je g restrikcija od f na segment {(0,y) | -1⇐y⇐1}. g je surjekcija, restrikcija neprekidne f-je je neprekidna f-ja (Nap 2.1.) pa je po Tm. 2.14. segment nepovezan jer je g neprekidna surjekcija. Kontradikcija.

Mislim da je to to. Neka me netko ispravi ako sam negdje pogriješio.

[C]

@Unnamed One:

Tvrdnja ne vrijedi opcenito, ali vrijedi ako bi V bio otvoren skup - sto i je pretpostavka ?
Tj. ako bi npr. imali samo drugi dio dokaza (od "Stoga...)

[Unnamed One]

@C

Dakle, krenimo od "Stoga..."

"Stoga, kada bi bilo c element iz V onda bi postojao r>0 takav da je
<c-r,c+r> sadržan u V, pa bi infimum skupa V bio manji od c."

U prvom postu pitao si zašto je prije dokazano c!=b. Ja napisah da je to zato što kad bismo uzeli V={b},... Zatim ti kažeš da je obavezno V!={b} jer je V otvoren (što je OK), ali to je upravo onaj isti argument koji se nalazi u dokazu da je c!=b u skripti.

"Mora dakle biti c iz U. No tada bi postojao r>0 t.d. je <c-r,c+r> sadržan u U pa bi infimum skupa V bio veći od c."

Pitanje : Zašto takav r postoji, tj. zašto ne bi c bio jednak a pa gornja tvrdnja ne stoji?
Pa zato što onda U ne bi bio otvoren jer da je U otvoren onda c ne bi mogao biti infimum od V, ali to je argument koji se nalazi dokazu c!=a.

Da nismo dokazali c!=a i c!=b onda bi prilikom dokazivanja da c nije iz V, tj. da c nije iz U trebali prokomentirati da je V otvoren pa je V!={b}, tj. da radi otvorenosti od U vrijedi da kada bi c bio iz U onda ne bi mogao biti infimum od V. Mi smo te iste argumente iskoristili gore, u dokazu c!=a i c!=b pa smo kasnije mogli bezbrižno uzeti <c-r,c+r> bez da se brinemo o rubovima segmenta. S druge strane, očito je da je c!=a, tj. c!=b pa to možda uopće nije trebalo dodatno objašnjavati, ali, kao što vidiš, u dokazu je maksimalno detaljno raspisan svaki korak pa se na prvi pogled neka pojašnjenja možda mogu činiti suvišnima.


Nisam skužio zadnja 2 retka (ne mislim na "Sretan Uskrs" - hvala i tebi, nego ono prije toga). Ako je W onaj skup W iz primjera 1.4 što onda točno znači <0,e><=U kad je U<=W<=R^2?