diferencijabilnost

[Lea]

Evo jednog pitanja sa usmenog koje me muči:

Ako je zadana fja na sljedeci nacin-f:R2->R2
f(x,y)=(x-1,y) da li je ta fja diferencijabilna i zasto?
Jeli dif.svuda ili samo negdje?
Odredite Df(1,-4)(2,5)

Znam da je dif. zato jer su parcijalne derivacija neprekidne i to na cijelom R2.

Također znam da je Df(1,-4) = 1 0
0 1

Kako izračunati Df(1,-4)(2,5)? Pomnožim sa 2 ?
5

Da li smijem pisati = kad to množim?
Ako se na varam dobijem vektor iz R2, ali ne znam objasniti zašto.

Thanks!

_________________
Lea

[nenad]

Df(1,-4) je linearni operator s R2 u R2, koji se može prikazati (u standardnoj bazi) s matricom
[ 1 0 ]
[ 0 1 ]
Dalje je linearna algebra: kako izračunati produkt 2x2 matrice s vektorom (matricom stupcem) 2x1 - ovdje je rezultat (2,5)^T (stupac u matričnom zapisu).

Df je funkcija koja djeluje na vektore u točki, koji se sastoje od točke i vektora, u gornjem slučaju (1,-4)[2,5]. Kad potrošimo točku, imamo linearni operator koji djeluje na vektor, i tu je najlakše računati matrično. Da smo imali skalarnu funkciju f, Df(1,-4) bi bio linearni operator s R2 u R, dakle, linearni funkcional.

U ovom primjeru Df zapravo nije ovisio o točki.

- Nenad.

[Lea]

1. Kako dokazati teorem: Neka je Ω podskup Rn otvoren skup, a f: Ω->Rm diferencijabilno preslikavanje u P0 iz Ω. Tada je f neprekidno u P0.

Dokaz:
f je diferencijabilno u P0 pa vrijedi f(P0+H) - f(P0) = Df(P0)(H) + r(H), lim r(H)/ ||H|| = 0, (H->0). Šta sad treba dokazati i kako da bi dobila da je f neprekidna u P0?


2. Kod dokaza jedinstvanosti diferencijala pretpostavim da postoje dva diferencijala A: Rn -> Rm i B: Rn -> Rm takva da vrijedi
lim ( f(P0+H) - f(P0) - A(H) ) / ||H|| = 0 (H->0)
i lim ( f(P0+H) - f(P0) - B(H) ) / ||H|| = 0 (H->0).
Oduzmemo ta dva limesa i dobijemo lim ( B(H) - A(H) ) / ||H|| = 0 (H->0), tj. lim ( (B - A)(H) ) / ||H|| = 0 (H->0).

Da je B(H) - A(H) = (B-A)(H) slijedi iz toga što su A,B linearni operatori ili.. ???

Preslikavanje C=(B-A):Rn -> Rm je također linearni operator, te zbog neprekidnosti norme dobivamo lim ||C(H)|| / ||H|| = 0 (H->0).

Zašto je tu potrebna neprekidnost norme? Da norma nije neprekidna to ne bi vrijedilo?

Šta dalje treba da bi dokazala da je A=B?

_________________
Lea