korjen od 2 na korjen od 2

[SMetesi]

Prijatelj sa fera me pitao da kako dokazati da je korien od 2 na korjen od 2 iracionalan. Meni nije uspjelo, pa bi vas molila pomoć. HVALA!!!

[Ilja]

To je dosta netrivijalan problem za prvu godinu, pretpostavljam da je tvoj prijatelj sa fera barem druga.

U svakom slučaju, iracionalnost broja
slijedi iz tzv. Gelfond-Schneidervog teorema koji u kratko kaže da je (kompleksni) broj oblika transcedentan (nije nultočka niti jednog netrivijalnog polinoma (dakle, isključen nulpolinom) s cjelobrojnim koeficijentima) ako je

algebarski (poništava ga neki netrivijalni polinom s cjelobrojnim koeficijentima, tj. nije transcedentan) i i
ako je algebarski i iracionalan.

Kako je algebarski i iracionalan, to je transcedentan, pa je specijalno i iracionalan
(svaki racionalni broj na trivijalan način možemo poništiti polinomom s cjelobrojnim kioeficijentima, npr. uzmemo )

Ako ga zanima dokaz teorema neka se proba javiti nekome sa Seminara za teoriju brojeva i algebru da ga upute na literaturu:

http://web.math.hr/~duje/seminar.html

[duje]

Dokaz Gelfond-Schneiderovog teorema se moze naci u knjigama
A. Baker: Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1990,
Th. Schneider: Einfuhrung in die transzendenten Zahlen, Springer-Verlag, 1957,
a takodjer i u K. Ramachandra, Lectures on Transcendental Numbers.