Faktorijelska baza

[Anđelčić]

Evo imam jedan zadatak pa ako se nađe neka dobra duša...
Dokažite da se svaki prirodan broj a može na jedinstven način prikazati u obliku a=a1*1!+a2*2!+a3*3!+...+an*n! pri čemu je 0<=ai<=i,i=1,2...n.
Prikažite 1000 u tom obliku.

[krcko]

Za egzistenciju uzmi najveci n za koji je n!⇐a i definiraj a_n=[a/n!] (najvece cijelo). Ostatak a-a_n*n! je ⇐(n-1)!, pa se moze dalje nastaviti indukcijom. Probaj sa a=1000, vidjet ces da je lako.

Za jedinstvenost pretpostavi da imas dva prikaza, oduzmi ih i dobit ces a_1*1!+a_2*2!+...+a_n*n!=0, gdje su -i⇐a_i⇐i. Pretpostavi da nisu svi a_i-ovi nula, pogledaj onaj s najvecim indeksom i uoci kontradikciju. Svodi se na to da je 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!<(n+1)!

To se inace zove faktorijelska baza (promijenio sam naslov).

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[Anđelčić]

Hvala!

[SvekY]

[Melkor]

Zapravo, trebalo bi biti (n-1)!⇐a-a_n*n!<n! pa je n-1 najveći broj za koji je (n-1)!⇐a-a_n*n!. Na taj način možemo nastaviti definirati a_(n-1):=[(a-a_n*n!)/(n-1)!], ...

_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.

[krcko]

Tako je, trebalo je pisati ostatak<n! (ali ne mora biti >=(n-1)! jer manje znacajne znamenke mogu biti 0).

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.