| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Denzil
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 04. 2005. (09:35:09)
Postovi: (30)16
|
 Postano: 18:51 ned, 27. 11. 2005 Naslov: Ekstremi, Hesse, Lagrange.. tko kada i zasto? |
    |
|
|
Dakle zanima me kada treba koristit Hesseovu matricu kod trazenja ekstrema a kada Lagrangeov multiplikator?
Ja znam(bar mislim) sljedece: Lagrange je za provjeravanje rubova, Hesse za unutrasnjost. Pa ko su uvjeti oblika x+y <= 2 onda dakle x+y moze biti JEDNAKO i MANJE od 2 pa je potrebo provjeriti i unutrasnjost pa se dakle koristi i Hesse i Lagrange, a ako je uvjet oblika x+y=2 onda je rijec samo o rubu pa se koristi samo Lagrange, dobiju se stacionarne tocke i to su ekstremi. Jel to tocno? tj. ima li sta tu krivo? da li nesto zaboravljam?
I evo konkrentog primjera,
nadite ekstreme funkcije f(x,y)=cos^2(x) + cos^2(y) uz uvjet x-y=PI/4.
Dakle sta tu treba? i zasto.
hvala unaprijed
Dakle zanima me kada treba koristit Hesseovu matricu kod trazenja ekstrema a kada Lagrangeov multiplikator?
Ja znam(bar mislim) sljedece: Lagrange je za provjeravanje rubova, Hesse za unutrasnjost. Pa ko su uvjeti oblika x+y <= 2 onda dakle x+y moze biti JEDNAKO i MANJE od 2 pa je potrebo provjeriti i unutrasnjost pa se dakle koristi i Hesse i Lagrange, a ako je uvjet oblika x+y=2 onda je rijec samo o rubu pa se koristi samo Lagrange, dobiju se stacionarne tocke i to su ekstremi. Jel to tocno? tj. ima li sta tu krivo? da li nesto zaboravljam?
I evo konkrentog primjera,
nadite ekstreme funkcije f(x,y)=cos^2(x) + cos^2(y) uz uvjet x-y=PI/4.
Dakle sta tu treba? i zasto.
hvala unaprijed
|
|
| [Vrh] |
|
Denzil
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 04. 2005. (09:35:09)
Postovi: (30)16
|
|
| [Vrh] |
|
mea
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 12. 2002. (13:22:34)
Postovi: (1F0)16
|
| Postano: 19:32 ned, 27. 11. 2005 Naslov: Re: Ekstremi, Hesse, Lagrange.. tko kada i zasto? |
|
|
|
[quote="Denzil"]Dakle zanima me kada treba koristit Hesseovu matricu kod trazenja ekstrema a kada Lagrangeov multiplikator?[/quote]
Postoje "obični" i "uvjetni" ekstremi.
Kod običnog ekstrema formulacija zadatka je recimo "[i]odredi najmanju/najveću vrijednost funkcije f(x,y)=... na R^2[/i]".
Postupak se sastoji od:
1. određivanja stacionarnih točaka (izjednačimo sve parc.derivacije s nulom)
2. ispitivanja da li se u tim točkama postiže ekstrem i da li je min ili max (za to može poslužiti Hesseova matrica)
Kod uvjetnog ekstrema formulacija je "[i]odredi najmanju/najveću vrijednost funkcije f(x,y)=... na skupu {(x,y):g(x,y)=0}[/i]".
Tu koristimo Lagrangeove multiplikatore. Znači, napišemo L(x,y,a)=f(x,y)-a g(x,y) i tražimo stacionarne točke funkcije L.
(može uz više varijabli biti i više uvjeta)
Kad nađemo te stacionarne točke, treba još na neki način odrediti da li se tamo zaista postiže ekstrem i ako da - da li je minimum ili maksimum.
Naravno, u nekim zadacima se treba tražiti jedno i drugo...
Npr. "[i]odredi najmanju/najveću vrijednost funkcije f(x,y,z)=... na kocki [0,1]x[0,1]x[0,1][/i]". Tu bi trebalo potražiti
1. Ekstreme na otvorenom skupu (0,1)x(0,1)x(0,1), tj. stacionarne točke funkcije f koje leže unutar kocke
2. Ekstreme na stranama kocke, tj. na ravninama x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1. I tu nas zanimaju samo one točke za koje su |x|,|y|,|z|<=1.
To možemo tražiti pomoću Lagrangeove funkcije uz jedan uvjet (ili jednostavnije, uvrštavanjem)
3. Ekstreme na bridovima, tj. među točkama koje zadovoljavaju dvije jednakosti - uvjetni ekstrem s dva uvjeta.
4. Ekstreme u vrhovima - točke koje zadovoljavaju po tri uvjeta - ima ih konačno mnogo - u ovom slučaju to je 8 vrhova.
[quote="Denzil"]I evo konkrentog primjera,
nadite ekstreme funkcije f(x,y)=cos^2(x) + cos^2(y) uz uvjet x-y=PI/4.
Dakle sta tu treba? i zasto.[/quote]
Najjednostavnije moguće - uvrstiti x=y+PI/4, i promatrati funkciju jedne varijable (y). Dakle, derivirati po y, izjednačiti derivaciju s nulom, i ustanoviti (promatranjem druge derivacije - u više dimenzija tu dolazi Hesseova matrica) jesmo li dobili min ili max...
Naravno, umjesto traženja ekstrema (običnog, bezuvjetnog) funkcije jedne varijable, možemo tražiti i uvjetni ekstrem, dakle koristiti Lagrange-a.
Mea
| Denzil (napisa): | | Dakle zanima me kada treba koristit Hesseovu matricu kod trazenja ekstrema a kada Lagrangeov multiplikator? |
Postoje "obični" i "uvjetni" ekstremi.
Kod običnog ekstrema formulacija zadatka je recimo "odredi najmanju/najveću vrijednost funkcije f(x,y)=... na R^2".
Postupak se sastoji od:
1. određivanja stacionarnih točaka (izjednačimo sve parc.derivacije s nulom)
2. ispitivanja da li se u tim točkama postiže ekstrem i da li je min ili max (za to može poslužiti Hesseova matrica)
Kod uvjetnog ekstrema formulacija je "odredi najmanju/najveću vrijednost funkcije f(x,y)=... na skupu {(x,y):g(x,y)=0}".
Tu koristimo Lagrangeove multiplikatore. Znači, napišemo L(x,y,a)=f(x,y)-a g(x,y) i tražimo stacionarne točke funkcije L.
(može uz više varijabli biti i više uvjeta)
Kad nađemo te stacionarne točke, treba još na neki način odrediti da li se tamo zaista postiže ekstrem i ako da - da li je minimum ili maksimum.
Naravno, u nekim zadacima se treba tražiti jedno i drugo...
Npr. "odredi najmanju/najveću vrijednost funkcije f(x,y,z)=... na kocki [0,1]x[0,1]x[0,1]". Tu bi trebalo potražiti
1. Ekstreme na otvorenom skupu (0,1)x(0,1)x(0,1), tj. stacionarne točke funkcije f koje leže unutar kocke
2. Ekstreme na stranama kocke, tj. na ravninama x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1. I tu nas zanimaju samo one točke za koje su |x|,|y|,|z|⇐1.
To možemo tražiti pomoću Lagrangeove funkcije uz jedan uvjet (ili jednostavnije, uvrštavanjem)
3. Ekstreme na bridovima, tj. među točkama koje zadovoljavaju dvije jednakosti - uvjetni ekstrem s dva uvjeta.
4. Ekstreme u vrhovima - točke koje zadovoljavaju po tri uvjeta - ima ih konačno mnogo - u ovom slučaju to je 8 vrhova.
| Denzil (napisa): | I evo konkrentog primjera,
nadite ekstreme funkcije f(x,y)=cos^2(x) + cos^2(y) uz uvjet x-y=PI/4.
Dakle sta tu treba? i zasto. |
Najjednostavnije moguće - uvrstiti x=y+PI/4, i promatrati funkciju jedne varijable (y). Dakle, derivirati po y, izjednačiti derivaciju s nulom, i ustanoviti (promatranjem druge derivacije - u više dimenzija tu dolazi Hesseova matrica) jesmo li dobili min ili max...
Naravno, umjesto traženja ekstrema (običnog, bezuvjetnog) funkcije jedne varijable, možemo tražiti i uvjetni ekstrem, dakle koristiti Lagrange-a.
Mea
|
|
| [Vrh] |
|
mea
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 12. 2002. (13:22:34)
Postovi: (1F0)16
|
|
| [Vrh] |
|
Denzil
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 04. 2005. (09:35:09)
Postovi: (30)16
|
| Postano: 20:00 ned, 27. 11. 2005 Naslov: Re: Ekstremi, Hesse, Lagrange.. tko kada i zasto? |
|
|
|
[quote="mea"]
Kad nađemo te stacionarne točke, treba još na neki način odrediti da li se tamo zaista postiže ekstrem i ako da - da li je minimum ili maksimum.[/quote] Na koji? Ja znam samo za isprobavanje uvrstavanjem.
[quote="mea"]Naravno, u nekim zadacima se treba tražiti jedno i drugo...[/quote] Da li tu spada onaj primjer koji sam ja naveo prvom postu? tocnije x+y<=2? I da li sam onda dobro zakljucio da je to zbog "manje-jednako"?
[quote="mea"]Npr. "[i]odredi najmanju/najveću vrijednost funkcije f(x,y,z)=... na kocki [0,1]x[0,1]x[0,1][/i]". Tu bi trebalo potražiti
1. Ekstreme na otvorenom skupu (0,1)x(0,1)x(0,1), tj. stacionarne točke funkcije f koje leže unutar kocke
2. Ekstreme na stranama kocke, tj. na ravninama x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1. I tu nas zanimaju samo one točke za koje su |x|,|y|,|z|<=1.
To možemo tražiti pomoću Lagrangeove funkcije uz jedan uvjet (ili jednostavnije, uvrštavanjem)
3. Ekstreme na bridovima, tj. među točkama koje zadovoljavaju dvije jednakosti - uvjetni ekstrem s dva uvjeta.
4. Ekstreme u vrhovima - točke koje zadovoljavaju po tri uvjeta - ima ih konačno mnogo - u ovom slučaju to je 8 vrhova.[/quote]Iskreno se nadam da zadatke s ovolko posla ne budete zadavali na rokovima ogranicenim sa samo 2 sata vremena :)
[quote="mea"]Najjednostavnije moguće - uvrstiti x=y+PI/4, i promatrati funkciju jedne varijable (y). Dakle, derivirati po y, izjednačiti derivaciju s nulom, i ustanoviti (promatranjem druge derivacije - u više dimenzija tu dolazi Hesseova matrica) jesmo li dobili min ili max... [/quote] Nisam jos rjesavao na ovaj nacin.. isplati se probati :)
[quote="mea"]Naravno, umjesto traženja ekstrema (običnog, bezuvjetnog) funkcije jedne varijable, možemo tražiti i uvjetni ekstrem, dakle koristiti Lagrange-a.[/quote] Znaci da je uvjet bio x+y<=PI/4 onda bi morali koristit oboje.
[quote="mea"]"Onaj niz" može biti indefinitan ili (pozitivno ili negativno) semidefinitan, ili strogo (pozitivno ili negativno) definitan.
Ako je indefinitan -->> sedlasta točka.
Ako je strogo definitan -->> ekstrem.
Ako je semidefinitan ... treba na neki drugi način ustanoviti na čemu smo. Npr. promatranjem točaka u okolini.[/quote]
jos samo nesto, da li je niz [i]"-2,2"[/i] indefinitan? i da li je niz [i]"2,0,2"[/i] pozitivno semidefinitan? jer sam nesto cuo da ako nula niije zadnja da je onda indefinitan.
Puno hvala na detaljnom i iscrpnom odgovoru (karma+1 :) ).. vrlo mi je drago da ima asistenata koji su voljni uloziti ovolko truda pomaganju studentima.
| mea (napisa): |
Kad nađemo te stacionarne točke, treba još na neki način odrediti da li se tamo zaista postiže ekstrem i ako da - da li je minimum ili maksimum. |
Na koji? Ja znam samo za isprobavanje uvrstavanjem.
| mea (napisa): | | Naravno, u nekim zadacima se treba tražiti jedno i drugo... |
Da li tu spada onaj primjer koji sam ja naveo prvom postu? tocnije x+y⇐2? I da li sam onda dobro zakljucio da je to zbog "manje-jednako"?
| mea (napisa): | Npr. "odredi najmanju/najveću vrijednost funkcije f(x,y,z)=... na kocki [0,1]x[0,1]x[0,1]". Tu bi trebalo potražiti
1. Ekstreme na otvorenom skupu (0,1)x(0,1)x(0,1), tj. stacionarne točke funkcije f koje leže unutar kocke
2. Ekstreme na stranama kocke, tj. na ravninama x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1. I tu nas zanimaju samo one točke za koje su |x|,|y|,|z|⇐1.
To možemo tražiti pomoću Lagrangeove funkcije uz jedan uvjet (ili jednostavnije, uvrštavanjem)
3. Ekstreme na bridovima, tj. među točkama koje zadovoljavaju dvije jednakosti - uvjetni ekstrem s dva uvjeta.
4. Ekstreme u vrhovima - točke koje zadovoljavaju po tri uvjeta - ima ih konačno mnogo - u ovom slučaju to je 8 vrhova. |
Iskreno se nadam da zadatke s ovolko posla ne budete zadavali na rokovima ogranicenim sa samo 2 sata vremena 
| mea (napisa): | | Najjednostavnije moguće - uvrstiti x=y+PI/4, i promatrati funkciju jedne varijable (y). Dakle, derivirati po y, izjednačiti derivaciju s nulom, i ustanoviti (promatranjem druge derivacije - u više dimenzija tu dolazi Hesseova matrica) jesmo li dobili min ili max... |
Nisam jos rjesavao na ovaj nacin.. isplati se probati
| mea (napisa): | | Naravno, umjesto traženja ekstrema (običnog, bezuvjetnog) funkcije jedne varijable, možemo tražiti i uvjetni ekstrem, dakle koristiti Lagrange-a. |
Znaci da je uvjet bio x+y⇐PI/4 onda bi morali koristit oboje.
| mea (napisa): | "Onaj niz" može biti indefinitan ili (pozitivno ili negativno) semidefinitan, ili strogo (pozitivno ili negativno) definitan.
Ako je indefinitan →> sedlasta točka.
Ako je strogo definitan →> ekstrem.
Ako je semidefinitan ... treba na neki drugi način ustanoviti na čemu smo. Npr. promatranjem točaka u okolini. |
jos samo nesto, da li je niz "-2,2" indefinitan? i da li je niz "2,0,2" pozitivno semidefinitan? jer sam nesto cuo da ako nula niije zadnja da je onda indefinitan.
Puno hvala na detaljnom i iscrpnom odgovoru (karma+1 ).. vrlo mi je drago da ima asistenata koji su voljni uloziti ovolko truda pomaganju studentima.
|
|
| [Vrh] |
|
mea
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 12. 2002. (13:22:34)
Postovi: (1F0)16
|
| Postano: 20:19 ned, 27. 11. 2005 Naslov: Re: Ekstremi, Hesse, Lagrange.. tko kada i zasto? |
|
|
|
[quote="Denzil"][quote="mea"]Kad nađemo te stacionarne točke, treba još na neki način odrediti da li se tamo zaista postiže ekstrem i ako da - da li je minimum ili maksimum.[/quote] Na koji? Ja znam samo za isprobavanje uvrstavanjem.[/quote]
Ovisi o zadatku. Može poslužiti i Hesseova matrica funkcije L, nismo to radili lani na vježbama ali ima među zadacima u knjizi.
Ovo "isprobavanje uvrštavanjem" - ako se ne varam - pretpostavlja da tražimo najmanju/najveću vrijednost funkcije na [u]kompaktnom[/u] skupu, pa za neprekidnu funkciju znamo da se minimum i maksimum postižu.
[quote="Denzil"][quote="mea"]Naravno, u nekim zadacima se treba tražiti jedno i drugo...[/quote] Da li tu spada onaj primjer koji sam ja naveo prvom postu? tocnije x+y<=2? I da li sam onda dobro zakljucio da je to zbog "manje-jednako"?[/quote]
Da, riješite problem na unutrašnjosti (otvorenom skupu x+y<2) i na rubu (uz uvjet x+y=2).
[quote="Denzil"]Iskreno se nadam da zadatke s ovolko posla ne budete zadavali na rokovima ogranicenim sa samo 2 sata vremena :)[/quote]
Pa nema tu tako puno posla, samo se uvrštavaju 0 i jedinice, nigdje ne trebate Lagrangea.
[quote="Denzil"]Puno hvala na detaljnom i iscrpnom odgovoru...[/quote]
Pa, nadam se da će koristiti i vama (na sutrašnjem ispitu zar ne?) i drugim studentima.
| Denzil (napisa): | | mea (napisa): | | Kad nađemo te stacionarne točke, treba još na neki način odrediti da li se tamo zaista postiže ekstrem i ako da - da li je minimum ili maksimum. |
Na koji? Ja znam samo za isprobavanje uvrstavanjem. |
Ovisi o zadatku. Može poslužiti i Hesseova matrica funkcije L, nismo to radili lani na vježbama ali ima među zadacima u knjizi.
Ovo "isprobavanje uvrštavanjem" - ako se ne varam - pretpostavlja da tražimo najmanju/najveću vrijednost funkcije na kompaktnom skupu, pa za neprekidnu funkciju znamo da se minimum i maksimum postižu.
| Denzil (napisa): | | mea (napisa): | | Naravno, u nekim zadacima se treba tražiti jedno i drugo... |
Da li tu spada onaj primjer koji sam ja naveo prvom postu? tocnije x+y⇐2? I da li sam onda dobro zakljucio da je to zbog "manje-jednako"? |
Da, riješite problem na unutrašnjosti (otvorenom skupu x+y<2) i na rubu (uz uvjet x+y=2).
| Denzil (napisa): | | Iskreno se nadam da zadatke s ovolko posla ne budete zadavali na rokovima ogranicenim sa samo 2 sata vremena |
Pa nema tu tako puno posla, samo se uvrštavaju 0 i jedinice, nigdje ne trebate Lagrangea.
| Denzil (napisa): | | Puno hvala na detaljnom i iscrpnom odgovoru... |
Pa, nadam se da će koristiti i vama (na sutrašnjem ispitu zar ne?) i drugim studentima.
|
|
| [Vrh] |
|
Denzil
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 04. 2005. (09:35:09)
Postovi: (30)16
|
| Postano: 20:24 ned, 27. 11. 2005 Naslov: Re: Ekstremi, Hesse, Lagrange.. tko kada i zasto? |
|
|
|
[quote="mea"]Pa, nadam se da će koristiti i vama (na sutrašnjem ispitu zar ne?) i drugim studentima.[/quote]
Naravno da hoće i hvala jos jednom :wink:
[quote="mea"]Ovisi o zadatku. Može poslužiti i Hesseova matrica funkcije L, nismo to radili lani na vježbama ali ima među zadacima u knjizi.
Ovo "isprobavanje uvrštavanjem" - ako se ne varam - pretpostavlja da tražimo najmanju/najveću vrijednost funkcije na [u]kompaktnom[/u] skupu, pa za neprekidnu funkciju znamo da se minimum i maksimum postižu.[/quote] e da, kako mogu prepoznati kompaktnost skupa? Ili cu morati dokazivat ogranicenost i zatvorenost?
| mea (napisa): | | Pa, nadam se da će koristiti i vama (na sutrašnjem ispitu zar ne?) i drugim studentima. |
Naravno da hoće i hvala jos jednom 
| mea (napisa): | Ovisi o zadatku. Može poslužiti i Hesseova matrica funkcije L, nismo to radili lani na vježbama ali ima među zadacima u knjizi.
Ovo "isprobavanje uvrštavanjem" - ako se ne varam - pretpostavlja da tražimo najmanju/najveću vrijednost funkcije na kompaktnom skupu, pa za neprekidnu funkciju znamo da se minimum i maksimum postižu. |
e da, kako mogu prepoznati kompaktnost skupa? Ili cu morati dokazivat ogranicenost i zatvorenost?
|
|
| [Vrh] |
|
|
