Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadatak iz odj-a za rijesiti (nehomogena odj. s konst. koef.
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Obične diferencijalne jednadžbe
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Upitniklik
Gost
PostPostano: 0:35 ned, 27. 11. 2005    Naslov: Zadatak iz odj-a za rijesiti (nehomogena odj. s konst. koef. Citirajte i odgovorite
Da li bi neko mogao rijesiti ovaj zadatak iz odj-a: y''-2y'+y=e^x/(4-x^2)^(1/2), odnosno ono sto me zanima je koji je stupanj polinoma (4-x^2)^(-1/2), ako to uopce je nekakv polinom :oops:
Znaci(kratko):Kako se dobije partikularno rjesenje?
Hvala
Da li bi neko mogao rijesiti ovaj zadatak iz odj-a: y''-2y'+y=e^x/(4-x^2)^(1/2), odnosno ono sto me zanima je koji je stupanj polinoma (4-x^2)^(-1/2), ako to uopce je nekakv polinom Embarassed
Znaci(kratko):Kako se dobije partikularno rjesenje?
Hvala


[Vrh]
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 1:07 ned, 27. 11. 2005    Naslov: Re: Zadatak iz odj-a za rijesiti (nehomogena odj. s konst. k Citirajte i odgovorite
[quote="Upitniklik"]Da li bi neko mogao rijesiti ovaj zadatak iz odj-a: y''-2y'+y=e^x/(4-x^2)^(1/2)[/quote]
Ja bih to riješio ovako. To je kao tobože neki trik jer je jednadžba lijepo naštimana.

Pomnožimo jednadžbu s e^-x:
[latex]e^{-x}y''-2e^{-x}y'+e^{-x}y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}[/latex]
Sada prepoznamo da je lijeva strana zapravo [latex](e^{-x}y)''[/latex].
Zapravo to čovjek vidi čim se sjeti Leibnizove formule. Ako to nije odmah jasno, naprosto dvaput deriviramo pa vidimo.

Sada se jednadžba
[latex](e^{-x}y)''=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}[/latex]
"integrira" pa se dobije:
[latex](e^{-x}y)'=\mathrm{\mathop{arcsin}}\frac{x}{2}+A[/latex]
pa se još jednom "integrira" (ovdje ima npr. malo parcijalne integracije):
[latex]e^{-x}y=\sqrt{4-x^2}+x\cdot\mathrm{\mathop{arcsin}}\frac{x}{2}+Ax+B[/latex]
i pomnoži s e^x:
[latex]y=e^x \sqrt{4-x^2}+x e^x \mathrm{\mathop{arcsin}}\frac{x}{2}+Ax e^x+B e^x[/latex]

To je opće rješenje jednadžbe.

[quote="Upitniklik"]Znaci(kratko):Kako se dobije partikularno rjesenje?[/quote]
Sada vidimo da je partikularno rješenje
[latex]y_p=e^x \sqrt{4-x^2}+x e^x \mathrm{\mathop{arcsin}}\frac{x}{2}[/latex]
ali ja to unaprijed sigurno ne bih znao pogoditi.

[quote="Upitniklik"]odnosno ono sto me zanima je koji je stupanj polinoma (4-x^2)^(-1/2), ako to uopce je nekakav polinom[/quote]
To nije polinom pa u tom smislu nema niti stupanj.
Upitniklik (napisa):
Da li bi neko mogao rijesiti ovaj zadatak iz odj-a: y''-2y'+y=e^x/(4-x^2)^(1/2)

Ja bih to riješio ovako. To je kao tobože neki trik jer je jednadžba lijepo naštimana.

Pomnožimo jednadžbu s e^-x:

Sada prepoznamo da je lijeva strana zapravo .
Zapravo to čovjek vidi čim se sjeti Leibnizove formule. Ako to nije odmah jasno, naprosto dvaput deriviramo pa vidimo.

Sada se jednadžba

"integrira" pa se dobije:

pa se još jednom "integrira" (ovdje ima npr. malo parcijalne integracije):

i pomnoži s e^x:


To je opće rješenje jednadžbe.

Upitniklik (napisa):
Znaci(kratko):Kako se dobije partikularno rjesenje?

Sada vidimo da je partikularno rješenje

ali ja to unaprijed sigurno ne bih znao pogoditi.

Upitniklik (napisa):
odnosno ono sto me zanima je koji je stupanj polinoma (4-x^2)^(-1/2), ako to uopce je nekakav polinom

To nije polinom pa u tom smislu nema niti stupanj.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Obične diferencijalne jednadžbe Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan