|
[quote="Anonymous"]molim da mi neko objasni onaj teorem da su sve nultocke ortogonalnih polinoma realne,različite i elementi [a,b].
da li profesor Drmač pita i onaj zadnji dio s matricama?[/quote]
Označimo s
[latex]\langle f,g\rangle := \int_{a}^{b} w(x)f(x)g(x) dx [/latex]
pripadni skalarni produkt, pri čemu je [latex] w : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}[/latex] ([latex]w \neq 0[/latex]) nenegativna neprekidna funkcija (težinska funkcija). Označimo s [latex]\{P_n\}_{n \in \mathbb{Z}_+}[/latex]
pripadnu familiju ortogonalnih polinoma, pri čemu je [latex]P_n[/latex]
stupnja [latex]n[/latex]. Tu familiju možemo dobiti klasičnim Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije kanonske baze [latex]\{1,x, x^2,\ldots \}[/latex] prostora polinoma [latex]\mathcal{P}[/latex], obzirom na gornji skalarni produkt. Bez narušavanja općenitosti možemo uzeti da su svi [latex]P_n [/latex] normirani (kao polinomi, tj. u smislu da im je vodeći koeficijent jednak [latex]1[/latex]), budući nam nije bitna ortonormiranost, već samo ortogonalnost (budući su ortogonalni polinomi jedinstveni do na ne-nul konstantu).
Umimo [latex]n \in \mathbb{N}[/latex]. Tvrdimo da [latex]P_n[/latex] ima barem jednu (realnu) nultočku i da se ona nalazi unutar segmenta [latex][a,b][/latex]. U protivnom bi bilo [latex]|P_n(x)|>0, \quad \forall x \in [a,b] [/latex] pa budući je
(po konstrukciji) [latex]P_n[/latex] okomit na [latex]P_0 =1[/latex], to je i [latex]|P_n|=sgn(P_n) \cdot P_n[/latex] okomit na [latex]P_0=1[/latex], tj.
[latex]0=\langle |P_n|, 1\rangle=\int_{a}^{b}w(x) |P_n(x)| \cdot 1 dx[/latex]
pa zbog pozitivnosti integrala, neprekidnosti i nenegativnosti funkcije [latex]x \mapsto w(x)|P_n(x)|[/latex] mora biti [latex]P_n(x)=0, \quad \forall x\in [a,b][/latex] što je kontradikcija s pretpostavkom [latex]|P_n(x)|>0, \quad \forall x \in [a,b] [/latex].
Označimo sada s [latex]x_1, \ldots, x_m [/latex] sve (međusobno različite) nultočke od [latex] P_n[/latex], [latex]1\leq m \leq n[/latex] iz [latex] [a,b][/latex]. Kada bi bilo [latex] m < n[/latex], onda bi polinom definiran sa [latex] R_{m+n}(x):=Q_m(x) \cdot P_n(x)[/latex], pri čemu je [latex] Q_m(x):= (x-x_1)\cdots (x-x_m)[/latex], bio stalnog predznaka na [latex][a,b] [/latex], no s druge strane, budući je [latex] P_n[/latex] okomit na sve polinome stupnja manjeg od [latex] n[/latex] (a polinom [latex] Q_m[/latex] je stupnja [latex] m<n [/latex] po pretpostavci), imamo
[latex]0= \langle P_n, Q_m\rangle=\int_{a}^{b}w(x)P_n(x)Q_m(x)dx= \int_{a}^{b}w(x)R_{m+n}(x)dx[/latex], pa zbog stalnog predznaka od [latex]R_{m+n}[/latex], nenegativnosti funkcije [latex]w[/latex] i pozitivnosti integrala nužno mora biti [latex]R_{m+n} =0[/latex], što je očito kontradikcija (stupanj polinoma [latex]R_{m+n}[/latex] je jednak [latex]m+n>0[/latex]). Zbog toga je [latex]m =n[/latex], dakle [latex]P_n[/latex] ima točno [latex]n[/latex] različitih nultočki (formalno gledajući mi smo dokazali da ih ima više ili jednako od [latex]n[/latex], a obrnuta nejednakost slijedi iz osnovnog teorema algebre) i sve su unutar segmenta [latex][a,b][/latex] za svako [latex]n \in \mathbb{N}[/latex].
| Anonymous (napisa): | molim da mi neko objasni onaj teorem da su sve nultocke ortogonalnih polinoma realne,različite i elementi [a,b].
da li profesor Drmač pita i onaj zadnji dio s matricama? |
Označimo s
pripadni skalarni produkt, pri čemu je  ( ) nenegativna neprekidna funkcija (težinska funkcija). Označimo s 
pripadnu familiju ortogonalnih polinoma, pri čemu je 
stupnja  . Tu familiju možemo dobiti klasičnim Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije kanonske baze  prostora polinoma  , obzirom na gornji skalarni produkt. Bez narušavanja općenitosti možemo uzeti da su svi  normirani (kao polinomi, tj. u smislu da im je vodeći koeficijent jednak  ), budući nam nije bitna ortonormiranost, već samo ortogonalnost (budući su ortogonalni polinomi jedinstveni do na ne-nul konstantu).
Umimo  . Tvrdimo da ima barem jednu (realnu) nultočku i da se ona nalazi unutar segmenta  . U protivnom bi bilo  pa budući je
(po konstrukciji) okomit na  , to je i  okomit na  , tj.
pa zbog pozitivnosti integrala, neprekidnosti i nenegativnosti funkcije  mora biti  što je kontradikcija s pretpostavkom .
Označimo sada s  sve (međusobno različite) nultočke od  ,  iz  . Kada bi bilo  , onda bi polinom definiran sa  , pri čemu je  , bio stalnog predznaka na  , no s druge strane, budući je okomit na sve polinome stupnja manjeg od  (a polinom  je stupnja  po pretpostavci), imamo
 , pa zbog stalnog predznaka od  , nenegativnosti funkcije  i pozitivnosti integrala nužno mora biti  , što je očito kontradikcija (stupanj polinoma je jednak  ). Zbog toga je  , dakle ima točno različitih nultočki (formalno gledajući mi smo dokazali da ih ima više ili jednako od , a obrnuta nejednakost slijedi iz osnovnog teorema algebre) i sve su unutar segmenta za svako .
|
