Dokaz TMa 9.1 (objasnjenje gradiva)

[Gost]

Bok,imam pitanje u vezi dokaza tm.9.1 koji kaze: ako preslikavanje f ima sve parcijalne derivacije na domeni,onda ako su sve te parcijalne derivacije neprekidne u nekoj tocki P onda je to preslikavanje diferencijabilno u toj tocki P.

E sad ono sto mene tu zanima je kod dokaza kad raspisemo prirast fje i dobijemo da u svakom retku imamo posla s prirastom realne fje jedne varijable,kako mi sad znamo da je ta fja derivabilna?

Hvala.

[Unnamed One]

U skripti piše (4. redak dokaza):

f(P+H)-f(P)=( f(x1+h1,...,xn+hn)-f(x1,x2+h2,...,xn+hn) )+...

(izostavio sam nule iz skripte radi lakšeg zapisa). U prvoj zagradi imam restrikciju od f na pravac točkom (x1,x2+h2,...,xn+hn) čiji je vektor smjera e1=(1,0,0,...,0), u drugoj zagradi koju nisam napisao bila bi restrikcija od f na pravac točkom (x1,x2,...,xn+hn) sa smjerom e2 itd. Na strani 72 smo pokazali da diferencijabilna f-ja ima sve parcijalne derivacije pa kako je i-ta parcijalna derivacija od f (postoji zbog pretpostavke teorema) zapravo derivacija restrikcije od f na pravac paralelan s i-tim vektorom kanonske baze slijedi da su te realne f-je derivabilne zbog postojanja i-te parcijalne derivacije.