Zad: f:R^n\{0} --> R zadana sa f(x,y)= (xy)/(x^2 + y^2). Može li se f-ja f definirati u (0,0) t.d. bude neprekidna?
Rj: pretp da može, postoji fˇ:R^2 -->R neprekidna i
f˝ restrikcija R^2\{(0,0)=f
(0,y) teži u (0,0) (y teži u 0) => lim f(0,y)= lim 0 = f˝(0,0)
y->0 y->0
(x,x) teži u (0,0) (x teži u 0) => lim (y,y)= lim 1/2 = f˝(0,0)
y->0 y->0
Pk = (0, 1/k) teži u (0,0) => lim f(Pk)=0
Pk = (1/k, 1/k) teži u (0,0) => lim f(Pk)=1/2
=> f˝ ima prekid u (0,0)
lim f(x,y)=[(x,y)->(0,0), x^2 + y^2 ->(0,0)]=
(x,y)->(0,0)
=[polarne koordinate
x=rcosß, y=rsinß]= lim f(rcosß, rsinß)=
r->0
=lim (r^2 cosßsinß)/r^2 = cosßsinß
r->0
==>postoji limes => f nije moguće definirati
Može li mi netko objasniti rjesenje ovog zadatka ili ga rijesiti na neki drugi nacin ako ovo nije dobro (ovako pise u mojoj biljeznici).
Zad: f:R^n\{0} –> R zadana sa f(x,y)= (xy)/(x^2 + y^2). Može li se f-ja f definirati u (0,0) t.d. bude neprekidna?
Rj: pretp da može, postoji fˇ:R^2 –>R neprekidna i
f˝ restrikcija R^2\{(0,0)=f
(0,y) teži u (0,0) (y teži u 0) => lim f(0,y)= lim 0 = f˝(0,0)
y->0 y->0
(x,x) teži u (0,0) (x teži u 0) => lim (y,y)= lim 1/2 = f˝(0,0)
y->0 y->0
Pk = (0, 1/k) teži u (0,0) => lim f(Pk)=0
Pk = (1/k, 1/k) teži u (0,0) => lim f(Pk)=1/2
=> f˝ ima prekid u (0,0)
lim f(x,y)=[(x,y)->(0,0), x^2 + y^2 ->(0,0)]=
(x,y)->(0,0)
=[polarne koordinate
x=rcosß, y=rsinß]= lim f(rcosß, rsinß)=
r->0
=lim (r^2 cosßsinß)/r^2 = cosßsinß
r->0
==>postoji limes => f nije moguće definirati
Može li mi netko objasniti rjesenje ovog zadatka ili ga rijesiti na neki drugi nacin ako ovo nije dobro (ovako pise u mojoj biljeznici).
|