[quote="Anonymous"]Evo zadatak, pa ako netko može, molim pomoć.
Neka je f(x) = e na ( - x na kvadrat / 2)
Odredi n-tu derivaciju od f u 0.
(To je zadatak s roka 18. 04. 2005. (iz MA2), http://web.math.hr/nastava/analiza/pismeni-stari.html )[/quote]
Moram jurit, pa ću nabrzaka.... samo malo :drinking: dobro je.
E sad, ja bi f razvio u Taylorov red oko 0, pa kako je
[latex]e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \ \forall x \in \mathbb{R}[/latex], to je
[latex]f(x)=e^{\frac{-x^2}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^n n!},\ \forall x \in \mathbb{R}[/latex]
Sad se sjetiš da (zbog jedinstvenosti razvoja analitičke funkcije u Taylorov red) je koeficijent uz [latex]x^n[/latex] jednak [latex]\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[/latex], pa je [latex]f^{(n)}(0)=0 [/latex] ako je n neparan, odnosno [latex]f^{(n)}(0)=(-1)^{\frac{n}{2}}2^{-\frac{n}{2}}[/latex] ako je n paran.
Drugi način je da nađeš diferencijalnu jednadžbu koju f zadovoljava, no ovo je brže.
srdačan pozdrav,
dr. Exodus :croatia:
Moram jurit, pa ću nabrzaka.... samo malo dobro je.
E sad, ja bi f razvio u Taylorov red oko 0, pa kako je
, to je
Sad se sjetiš da (zbog jedinstvenosti razvoja analitičke funkcije u Taylorov red) je koeficijent uz jednak , pa je ako je n neparan, odnosno ako je n paran.
Drugi način je da nađeš diferencijalnu jednadžbu koju f zadovoljava, no ovo je brže.
srdačan pozdrav,
dr. Exodus
|