|
Riješit ćemo na dva načina:
[i]1. način[/i]
Nađimo presjek tih dviju ploha rješavanjem sustava jednadžbi.
Uvrštavanjem [latex]z^2=x^2+y^2[/latex] u jednadžbu prve plohe dobije se (primijetimo z>0):
[latex]z=2, \ x^2+y^2=4[/latex]
Dakle, ta krivulja je kružnica u ravnini [latex]z=2[/latex].
Formula za jednadžbu tangente na kružnicu [latex]x^2+y^2=4[/latex] (u xy-ravnini) u točki [latex](1,\sqrt{3},2)[/latex] glasi
[latex]xx_0+yy_0=r^2[/latex], tj. [latex]x+y\sqrt{3}=4[/latex].
Sada želimo jednadžbu pravca napisati parametarski pa stavimo y=t, odakle dalje izračunamo:
[latex]x=-t\sqrt{3}+4,\\ y=t,\\ z=2[/latex]
[i]2. način[/i]
Plohe možemo zapisati ovako:
[latex]F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-8=0\\ G(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0[/latex]
Gradijenti u točki [latex](1,\sqrt{3},2)[/latex] su:
[latex]\nabla F(1,\sqrt{3},2)=(2,2\sqrt{3},4)\\ \nabla G(1,\sqrt{3},2)=(2,2\sqrt{3},-4)[/latex]
Oba ta vektora (gradijenta) su normalna na krivulju presjeka pa i na njen tangencijalni pravac. Dakle, trebamo naći vektor smjera tog pravca tako da bude okomit na oba vektora [latex](2,2\sqrt{3},4)[/latex], [latex](2,2\sqrt{3},-4)[/latex] .
Do na skalar, taj vektor smjera je jednoznačno određen (nalazi se u ortogonalnom komplementu dvodimenzionalnog potprostora razapetog vektorima [latex](2,2\sqrt{3},4)[/latex], [latex](2,2\sqrt{3},-4)[/latex] ), a jednostavnim pogađanjem dobijemo [latex](\sqrt{3},-1,0)[/latex].
Dakle, traženi pravac prolazi točkom [latex](1,\sqrt{3},2)[/latex] i ima vektor smjera [latex](\sqrt{3},-1,0)[/latex].
Parametarska jednadžba mu je:
[latex]x=t\sqrt{3}+1,\\ y=-t+\sqrt{3},\\ z=2[/latex]
____________________
[color=darkred][i][b]"Sex is to Rex, what Rex is to Sex."[/b][/i][/color]
Riješit ćemo na dva načina:
1. način
Nađimo presjek tih dviju ploha rješavanjem sustava jednadžbi.
Uvrštavanjem  u jednadžbu prve plohe dobije se (primijetimo z>0):
Dakle, ta krivulja je kružnica u ravnini  .
Formula za jednadžbu tangente na kružnicu  (u xy-ravnini) u točki  glasi
 , tj.  .
Sada želimo jednadžbu pravca napisati parametarski pa stavimo y=t, odakle dalje izračunamo:
2. način
Plohe možemo zapisati ovako:
Gradijenti u točki su:
Oba ta vektora (gradijenta) su normalna na krivulju presjeka pa i na njen tangencijalni pravac. Dakle, trebamo naći vektor smjera tog pravca tako da bude okomit na oba vektora  ,  .
Do na skalar, taj vektor smjera je jednoznačno određen (nalazi se u ortogonalnom komplementu dvodimenzionalnog potprostora razapetog vektorima , ), a jednostavnim pogađanjem dobijemo  .
Dakle, traženi pravac prolazi točkom i ima vektor smjera .
Parametarska jednadžba mu je:
____________________
"Sex is to Rex, what Rex is to Sex."
|
Kad jednom probas letjeti
