korijeni polinoma trebaju zadovoljavati neke uvjete (zadatak)

[kum]

Ma jasno je već svima da spremam ispit, pa opet mi treba pomoć...

Odredite realne brojeve a i b tako da korijeni x1,x2, x3, i x4 jednadžbe x^4+ax+b=0 zadovoljavaju sljedeće uvjete:
x1*x2+2(x1+x2)+3=0
x3*x4+2(x3+x4)+3=0

[Gost]

Po Vieteovim formulama imamo:

x1+x2+x3+x4 = 0

x1*x2 + ... = 0

x1*x2*x3+ ... = -a

x1*x2*x3*x4 = b.

Označimo

x1+x2 = s, x3+x4 = s'

x1*x2 = p, x3*x4 = p'.

Tada zadani uvjeti glase:

p + 2s + 3 = p' + 2s' + 3 = 0,

pa zbog s + s' = 0 slijedi

p + p' = -6

i dalje, iz Vieteovih formula,

s * s' = 6

s*p' + s'*p = -a,

p*p' = b.

Sada je s*s = -6,

a = 2s*p + 6s = 2s*(-3-2s) + 6s = -4s*s = 24,

b = p*p' = (2s+3)*(-2s+3) = 9 -4s*s = 33.

Jednadžba glasi x^4+24x+33=0.