Pomoć oko teorema (objasnjenje gradiva)

[Silver Surfer]

Molim pomoć ako netko zna. Naime, u knjizi iz elementarne 1, na str. 37 ima jedan teorem koji glsai:
Realan broj x iz <0,1> je racionalan ako i samo ako je njegov decimalni zapis periodičan.
E sad, u dokazu kaže: Neka je x=a/b i a<b. Tada možemo pisati

10a/b=a_1+a'_1, a_1 iz {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 0⇐a'_1<1

što daje 10a=a_1*b+a'_1*b. Dakle, a'_1*b je ostatak u prvom koraku dijeljenja broja 10a sa b. Općenito je a'_(n+1)*b je ostatak u (n+1)-vom koraku dijeljenja a sa b. Ako je a'_(n+1)=0 za neko n, onda izlazi da je

10^(n+1)[a/b-a_1/10-...-a_n/10^n-a_n+1/10^(n+1)]=0,

što pokazuje da je a/b decimalni broj, pa je periodičan. Zašto to? Kaj je svaki decimalni broj periodičan? (Imam neki osjećaj da je pitanje glupo ) Ali nije to glavno. Dokaz ide dalje:
Ako je a'_i<>0 (različito od 0) za svako i, onda postoje brojevi k,p iz N, takvi da je

a_(p+k)*b=a'_k*b.

Ovo ne kužim zašto. Naime, ja sumnjam da bi tu trebalo pisati

a'_(p+k)*b=a'_k*b,

ali ni to ne znam zašto. Dokaz ide dalje, ali to kužim.

Eto, ako bi netko bio voljan odgovoriti bio bih mu/joj vrlo zahvalan.

[pbanicev]

[vjakovac]

Čini mi se da je ovdje korisno napomenuti kakav sve decimalni zapis broja može biti. Dakle, mogućnosti su mnogobrojne (kao i inače u životu):

primjer racionalnog broja s konačnim pa dakle i periodičnim (od nekog mjesta) decimalnim zapisom:
0.375 = 3/8

primjer racionalnog broja s beskonačnim i periodičnim (od nekog mjesta) decimalnim zapisom:
0.714285714285714285... = 5/7

primjeri decimalnih zapisa iracionalnih brojeva (nisu periodični):
0.1001000100001000001...
(Broj 0-a između susjednih jedinica se povećava za 1.)
п-3=0.14159265...
(Nema jednostavnog pravila za računanje svake sljedeće znamenke iz prethodnih.)

----------------

Radije govorimo o decimalnom zapisu broja, nego o decimalnom broju. Postoji bijektivna korespondencija između realnih brojeva i decimalnih zapisa, ako izuzmemo dijadske razlomke koji imaju dva prikaza (npr. 0.123 i 0.122999...). Ipak ovih posljednjih ima samo prebrojivo mnogo pa nam to ne kvari zaključivanje u vezi kardinaliteta:

Decimalnih zapisa realnih brojeva ima koliko i realnih brojeva, tj. neprebrojivo mnogo.
Periodičnih (od nekog mjesta) decimalnih zapisa ima koliko i racionalnih brojeva, tj. prebrojivo mnogo.
Neperiodičnih (od nekog mjesta) decimalnih zapisa ima koliko i iracionalnih brojeva, tj. neprebrojivo mnogo.

----------

Ne znam baš da se iz decimalnog prikaza može lako utvrditi da li je broj algebarski ili transcendentan. Nekada da (npr. Liouvilleov broj), nekada ne (npr. п). Još manje mi je jasno što je tu čudno. Tako da algebarski/transcendentni brojevi ne spadaju u ovu priču.

__________________
vjekovac /. e→a