S danasnjeg kolokvija

[Gost]

Ako se ne varam, zadatak je isao ovako nekako:

odredite sve [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tako da vrijedi
[tex]3 \cdot \varphi (n) | 2n[/tex]

Isprobavanjem mi se cini da je rjesenje [tex]n=3,6,9,12,...[/tex] ali ne znam kako doci do toga.

Krenuo sam ovako:

ako je [tex]n = p_1 ^ {\alpha_1} \cdot \cdot \cdot p_k ^ {\alpha_k} [/tex],

onda je [tex]\varphi (n) = p_1 ^ {\alpha_1 -1} (p_1-1) \cdot \cdot \cdot p_k ^ {\alpha_k -1} (p_k-1)[/tex]

Ako [tex]3 \cdot \varphi (n) | 2n[/tex], tada postoji [tex]m \in \mathbb{N}[/tex] takav da je

[tex]3 \cdot p_1 ^ {\alpha_1 -1} (p_1-1) \cdot \cdot \cdot p_k ^ {\alpha_k -1} (p_k-1) \cdot m = 2 p_1 ^ {\alpha_1} \cdot \cdot \cdot p_k ^ {\alpha_k}[/tex]

Mozemo obje strane podijeliti sa [tex]p_1 ^ {\alpha_1 -1} \cdot \cdot \cdot p_k ^ {\alpha_k -1} [/tex] pa dobijemo:

[tex]3 \cdot (p_1-1) \cdot \cdot \cdot (p_k-1) \cdot m = 2 p_1 \cdot \cdot \cdot p_k [/tex]

I kako sad dalje? Ili se to pokazuje na neki sasvim drugi nacin?

[spot137]

3| 3*(p1-1)*...*(pk-1) pa ocito dijeli i 2*p1*...*pk jedan pk mora biti 3, kazes da je to npr. p1. onda ti ostane
(p2-1)*...*(pk-1) | p2*...*pk, za p2=2, to vrijedi 1|2...
za ostale brojeve tj, p3,p4...pk oni su prosti brojevi >2, znaci da su i neparni ⇒ nijhov umnozak je neparan, a brojevi (p3-1),...,(pk-1) su onda ocito parni pa je i njihov umnozak paran, i paran broj naravno ne dijeli neparan, pa ni za jedne druge pk to nemoze vrijediti....

rj,

[RonnieColeman]

Kad je reza?

_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.

[pmli]

Pisalo je na kolokviju 8.6. u 14h, ako se ne varam.

[vinko]